Come determinare i fuochi di un'ellisse

Tramite: O2O 07/09/2017
Difficoltà: media
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Introduzione

Nella geometria piana analitica esiste una famiglia particolare di figure che ricopre un ruoto molto importante: le coniche. Intersecando un cono retto con un piano, infatti si possono ricavare 4 figure geometriche: iperbole, parabola, cerchio ed ellisse. Se il piano che taglia il cono ne intercetta una sola delle due metà e l'angolo non è retto, si può generare l'ellisse, mentre se è perpendicolare si ha una conferenza. In seguito vedremo come determinare i fuochi di un'ellisse.

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Che cosa è un'ellisse

Preso un cono retto, che in geometria analitica è formato da due parti simmetriche rispetto ad un punto detto vertice, lo si tagli con un piano. Se l'angolo che il piano forma con l'asse di simmetria del cono non è retto, ma comunque maggiore di quello che questo ha con una delle generatrici, si ha una figura detta ellisse. La circonferenza invece è un caso particolare di ellisse il cui piano di giacenza sia perpendicolare con l'asse del cono, e tutte le formule relative alle ellissi possono essere applicate anche a questa figura.

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Che cosa sono i fuochi di un'ellisse

Supponendo di aver riportato l'ellisse su un piano cartesiano per comodità, facendo in modo che essa risulti simmetrica rispetto agli assi coordinati, è possibile ricavare due punti cospicui all'interno di questa figura, detti fuochi. La formula analitica che rappresenta questo tipo di ellisse è [(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)]=1. Se si fosse trattato di una circonferenza "a" e "b" avrebbero avuto lo stesso valore. L'ellisse si definisce come luogo dei punti la somma delle cui distanze dai fuochi ha somma costante. Il calcolo dei fuochi a partire da questa definizione è molto semplice e non richiede calcoli particolarmente complessi.

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Come si calcolano i fuochi di un'ellisse

Procedendo per punti, si deve per prima cosa determinare se a>b o viceversa b>a. Le coordinate dei fuochi infatti cambiano infatti se l'ellissi è orizzontale oppure verticale. Nel primo caso, ossia di ellissi orizzontale, i punti sono (-c,0) e (c,0), e si applica la formula (c^2)=(a^2)-(b^2). Se invece l'ellissi dovesse avere un aspetto verticale, i fuochi si troveranno in (0,-c) e (0, c). In questo caso la formula è (c^2)=(b^2)-(a^2). Nel caso in cui l'ellisse dovesse trovarsi con i fuochi al di fuori degli assi coordinati, ma risulti traslata rigidamente rispetto ad essi, senza cioè subire rotazioni, il calcolo dei fuochi resta abbastanza semplice, ma si deve far uso di un sistema di assi cartesiani ausiliari centrati in (x', y'). In questo caso la formula che descrive l'ellissi è {[(x-x')^2]/(a^2)}+{[(y-y')^2]/(b^2)}=(c^2) e si invita lo studente a ricavarne i fuochi.

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