Come determinare i fuochi dell'iperbole

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

In questa guida, dopo aver dato una definizione di iperbole secondo la geometria euclidea ed analitica, andremo a delineare i vari passaggi per poter determinare con correttezza i fuochi dell'iperbole. Tralasciando le definizioni valide per la geometria proiettiva e per la geometria descrittiva, per iperbole (in geometria euclidea) si intende il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi. In geometria analitica l'iperbole appare come una curva aperta definita da due rami distinti.

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Occorrente

  • carta, penna,righello,calcolatrice e formulario di matematica
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Determinare l'equazione dell'iperbole

Per poter adoperare le formule utili alla determinazione dei fuochi dell'iperbole, bisogna per prima cosa determinare la sua equazione generale. Partendo dalla definizione data nell'introduzione, scegliendo il sistema di riferimento in modo tale che l'asse delle ascisse sia la retta dei fuochi e l'asse delle ordinate sia l'asse del segmento F1F2, e indicati come F1 (di coordinate -c;0) e F2(di coordinate c;0) i due fuochi, un punto P (di coordinate x; y) appartiene a questo luogo se rispetta la formula (in valore assoluto) : |PF1-PF2|=2a. Svolgendo i calcoli tenendo presente che per PF1 e PF2 si intende la distanza di P da F1 e da F2, si ottiene l'equazione generale. Per un' iperbole con assi coincidenti con gli assi del piano cartesiano (rispettivamente asse delle ascisse e asse delle ordinate) e con centro nell'origine avremo 2 equazioni molto simili tra di loro: La prima sarà (x)^2/(a)^2- (y)^2/(b)^2 =1; la seconda equazione invece sarà: (x)^2/(a)^2-(y)^2/(b)^2= -1. La prima equazione sarà valida nel caso in cui i fuochi appartengano all'asse delle x, al contrario l'altra sarà valida per iperboli aventi fuochi appartenenti all'asse delle y.

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Determinazione dei fuochi

Ricordando che per fuochi si intendono due punti fissi appartenenti all' asse che interseca l'iperbole (indicati per comodità come F1 e F2) rispetto ai quali è costante la differenza da ogni punto appartenente all'iperbole, i fuochi avranno formula differente a seconda dell'iperbole considerata. Per iperbole con fuochi sull'asse delle x avremo: F1(-c;0); F2(+c; o); per quelle con fuochi sull'asse delle y avremo invece: F1(0,-c) F2(0;+c). In entrambi i casi per c si intende radice quadrata di a^2+b^2.

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Riportare sul grafico le coordinate dei fuochi

Dopo aver calcolato, con l'ausilio di una calcolatrice scientifica, i valori dei rispettivi fuochi riportarne sul grafico le coordinate verificandone la veridicità sia utilizzando l'assonema derivante dalla definizione di iperbole (ossia |PF1-PF2|=2a) sia la definizione di fuoco ricordando quindi che esso appartiene sempre all'asse che interseca l'iperbole.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • si consiglia un foglio a quadretti piccoli
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