Come derivare una funzione fratta

In matematica, la derivata esprime quanto una funzione vari al variare del suo argomento. Per fare un esempio pratico, in fisica, la velocità è la derivata dello spostamento; essa esprime infatti con quale rapidità avviene la variazione della posizione. Il concetto di derivata è strettamente associato a quello di rapporto incrementale. Essa infatti, se esiste, è definita come il limite del rapporto incrementale per delta (δ) tendente a zero. Vediamo ora come derivare una generica funzione fratta h (x).

Per prima cosa riconosciamo la funzione: una funzione fratta h (x) è tale quando numeratore e denominatore sono coprimi. Vale a dire che non sono possibili ulteriori semplificazioni tra loro. Per prima cosa quindi, è bene accertarsi che la funzione sia effettivamente fratta. Identificata quindi la funzione fratta h (x), possiamo isolare due ulteriori funzioni. La prima, quella al numeratore è f (x) e la seconda, al denominatore, verrà definita come g (x). Nell'esempio in questione f (x) rappresenta la funzione esponenziale mentre g (x) il polinomio di secondo grado. Come già visto precedentemente le due funzioni f (x) e g (x) non sono semplificabili tra loro. Procediamo ora al calcolo della derivata prima.

Per il calcolo della derivata prima è necessario conoscere le derivate delle funzioni principali. Nel caso della derivata di una funzione fratta inoltre, sarà necessario utilizzare un'ulteriore regola. La derivata di una funzione fratta h (x)=f (x)/g (x) è infatti definita dal rapporto tra: [(derivata del numeratore)*(denominatore non derivato) - (derivata del denominatore)*(numeratore non derivato) ]/ (denominatore al quadrato). In figura per esprimere il concetto di derivata si è utilizzato un apice.

Per chiarire meglio come calcolare la derivata di una funzione fratta utilizziamo un esempio. Al numeratore abbiamo un polinomio di secondo grado la cui derivata risulta essere 2*x. Al denominatore abbiamo invece una funzione sinusoidale che derivata risulta in una funzione coseno. Svolte le derivate delle singole funzioni, ricomponiamo il risultato finale. Come visto il calcolo della derivata di una funzione fratta è un'operazione semplice che è possibile svolgere in pochi passaggi. Come per il resto della matematica, l'importante è procedere per passi evitando così di commettere inutili errori di distrazioni. Prima di imbattersi in calcoli più difficoltosi è bene aver chiare tutte le altre regole di derivazione che in questo "vademecum", per ragioni di semplicità, non sono state necessarie.

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