Come derivare una funzione composta con logaritmo

Di: Sara Vlad
Tramite: O2O 10/07/2017
Difficoltà: media
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Introduzione

I logaritmi sono uno degli argomenti più importanti per imparare a risolvere operazioni più o meno difficili nella fascia delle scuole superiori. Essi possono essere abbinati anche alla geometria, oppure a tante altre equazioni matematiche. Se si imparano bene le regole fondamentali che coinvolgono questo tipo di operazione, poi sarà più facile svolgere tutti gli esercizi collegati. In questa guida ci focalizzeremo in particolare su come derivare una funzione composta con logaritmo, riportando qualche esempio. Vediamo come procedere.

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Occorrente
  • Un buon manuale di matematica
  • Calcolatrice
  • Teoremi ed esempi di esercizi
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La funzione composta

Anzitutto dobbiamo definire che cos'è una funzione composta. La funzione composta è una funzione ottenuta attraverso la composizione di due funzioni. Prendendo le immagini della prima funzione, la seconda si applica a queste ultime. In poche parole, si può affermare che "h (x) = g (f (x))". Facciamo ora un esempio concreto. Abbiamo la funzione "y = f (x) = e^x" e "z = g (y) = y + 1". La funzione composta sarà " h (x) = g (f (x)) = e^x + 1.

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Il teorema per la derivazione di una funzione composta

Un altro punto fondamentale utile per la risoluzione degli esercizi è il teorema. In tal caso prende il nome di teorema per la derivazione di una funzione composta. Esso afferma che la derivata della funzione composta "h (x) = g (f (x))" è data dalla derivata della funzione più "esterna" lasciando invariato l'argomento "f (x)" per la derivata dell'argomento. Lo stesso si può scrivere con linguaggio matematico: definendo le due funzioni "y= f (x)" e "z= g (y)" ottengo che la derivata di "h (x) = g (f (x))" è uguale a "g'(f (x))" che moltiplica "f'(x)".

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La risoluzione di una funzione composta con logaritmo

Il teorema è sempre applicabile, anche se abbiamo un logaritmo. Inoltre, esso è di fondamentale importanza proprio perché la maggior parte delle funzioni che dovranno essere derivate sono composte. Nel caso di una funzione composta con logaritmo, potremmo avere una funzione di questo tipo: "y = ln (x^2 + x)". Si inizia l'esercizio svolgendo la derivata della funzione più esterna, ovvero un logaritmo naturale. La derivata ottenuta lasciando invariato l'argomento è: "1/(x^2 + x)". Si esegue poi la derivata dell'argomento "(x^2 + x)" che, derivato, dà il risultato "2x + 1". Si moltiplicano i due risultati ottenuti e si ottiene la derivata finale della funzione composta di partenza. Quindi il risultato finale è "(2x + 1)/(x^2 + x)". Come si evince dall'esempio, nel derivare una funzione composta con logaritmo non cambia nulla, a patto che si conoscano bene le derivate principali. Per il suddetto motivo, è utile fare molto esercizio in maniera da vedere una casistica più ampia ed acquisire velocità di calcolo.

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  • Studiare le basi, per ogni argomento, facilita la comprensione dei casi di esercizio più difficili.
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