Come definire la posizione di una retta rispetto una circonferenza

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Introduzione

La geometria analitica è un'affascinante sezione della matematica che permette di esplicitare varie figure geometriche secondo formule matematiche ed operare delle operazioni su di esse come per esempio l'incontro con una retta. In questa guida studieremo in particolare la circonferenza, che in geometria euclidea è definita come luogo dei punti del piano equidistanti (di una distanza chiamata raggio) da un punto fisso che viene a sua volta definito come centro. Qui di seguito, passo dopo passo, vedremo in particolare come definire la posizione di una retta rispetto una circonferenza.

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Nozioni generali

Per studiare questi due diversi casi, e quindi vedere le varie posizioni che la retta può assumere rispetto alla circonferenza, basta risolvere il sistema formato dalle equazioni della circonferenza e della retta:

X^2+Y^2+ aX+bY+c=0 (circonferenza)
Y= mx+q (retta)

Ora, detto D il discriminante delle equazioni di secondo grado, risolvente il sistema, questo può risultare essere corrispondente a tre diversi valori:
D>0
D=0
D<0Ognuno di questi si traduce in una diversa posizione della retta rispetto alla circonferenza e vediamo quindi di seguito quale.

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Primo e secondo caso

Primo caso:

D=0 corrisponde ad una retta tangente alla circonferenza.
Le equazioni delle tangenti alla circonferenza uscenti da un punto p si possono trovare così:
Una volta formato il sistema delle equazioni, si trova l'equazione di secondo grado risolvente il sistema e si impone che D sia uguale a zero. In generale si trova un'equazione di secondo grado in m, le cui soluzioni m1 ed m2 sono i coefficienti angolari delle due tangenti cercate.

Secondo caso:

D>0 - In questo caso si dice che la retta sia secante la circonferenza, nel senso che la retta non solo tocca la circonferenza ma la taglia in ben due punti. Questi due punti sono determinati dal discriminate dell'equazione, che ci fornirà appunto i valori x1 e x2.

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Terzo caso

Terzo caso:

D<0 - I questo caso si dice che la retta sia esterna alla circonferenza, cioè non la interseca in nessuno dei suoi punti. Non è quindi rilevante la conoscenza della sua posizione nel piano cartesiano. Come avrete notato il procedimento da seguire non è complesso ma richiede tuttavia grande precisione nei calcoli in quanto un minimo errore potrebbe farvi risultare una situazione completamente differente da quella corretta falsando i risultati dell'intero esercizio e si richiede perciò attenzione durante lo svolgimento. Prestate dunque molta attenzione.

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