Come costruire un triangolo inscritto in una circonferenza

Nella geometria semplice delle scuole medie e superiori occupano un posto fondamentale il triangolo e la circonferenza. Data la loro semplicità ed i teoremi a loro associabili, queste due figure occupano gran parte del programma scolastico relativo alla geometria euclidea. Tralasciando le innumerevoli relazioni che possono intercorrere fra questi due enti geometrici, oggi ci occuperemo di dimostrare come è possibile costruire un triangolo, di qualsiasi natura, inscritto in una circonferenza. È bene ricordare che una figura inscritta in una circonferenza poggia tutti i suoi vertici sulla circonferenza stessa.

• Matita
• Foglio
• Compasso
• Squadrette

È possibile dimostrare che qualsiasi triangolo è inscrivibile in una e una sola circonferenza. Data per certa questa informazione, sarà quindi possibile determinare una circonferenza che racchiuda il nostro triangolo a posteriori dalla sua costruzione. Disegniamo allora il nostro poligono di tre lati ABC, senza preoccuparci degli angoli scelti. Andiamo a costruire gli assi dei tre lati e notiamo che si incontrano tutti e tre in punto O definito come circocentro. Rispolveriamo il nostro compasso e, puntando in O con apertura OA, disegniamo la nostra circonferenza circoscritta al triangolo ABC.

Un triangolo rettangolo è sempre inscrivibile ad una circonferenza a patto che la sua ipotenusa coincida con il diametro della circonferenza stessa. Questa informazione ci costringe a costruire prima la circonferenza e poi il triangolo. Usando il compasso disegniamo, allora, un cerchio qualsiasi e tracciamone uno degli infiniti diametri. Chiamo i due estremi A e B e scegliamo un punto qualsiasi sulla circonferenza, chiamandolo C. Unendo sia A che B con C avremo il nostro triangolo rettangolo, retto in ACB.

L'ultimo procedimento che vediamo è quello che riguarda il triangolo equilatero. Disegniamo in primo luogo la circonferenza e, aiutandoci con delle squadrette, tracciamo i diametri orizzontale e verticale. Abbiamo individuato, all'incrocio di questi due segmenti, il centro O. A questo punto, con l'aiuto del nostro fedele compasso, puntiamo nell'estremo inferiore dell'asse verticale con apertura fino ad O e tracciamo un arco di circonferenza che intersechi il nostro centro. Chiamiamo i due punti trovati A e B. Ora non dovremo fare altro che collegare A con B ed entrambi con il vertice superiore dell'asse verticale per ottenere un triangolo equilatero perfetto. Ricordatevi, in questo caso di cancellare tutte le linee di costruzione e di lasciare solo il triangolo risultante e la circonferenza iniziale.

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