Come Costruire La Curva Di Hilbert

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

In questa curva potrete divertirvi a costruire la curva di Hilbert, uno degli esempi più noti di frattali, essi sono una particolare classe di curve che vengono costruite mediante iterazioni infinite. La curva di Hilbert è definita "curva patologica", in quanto è a metà strada tra una linea e un piano, una sorta di ibrido. Per costruire questa curva bastano una matita, un foglio di carta e una squadretta. Vediamo quindi come procedere.

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Occorrente

  • Foglio di carta
  • Matita
  • Squadretta
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Il matematico Hilbert (1862-1943) studiò una curva simile alla curva già studiata da Peano. Si tratta di una curva costruita tramite un processo iterativo che finisce per riempire l'intero quadrato di lato unitario. Ci sono però delle importanti differenze con la curva di Peano. La costruzione seguente non può essere ottenuta applicando un certo numero di trasformazioni geometriche. Basta infatti osservare che i passi della costruzione non sono auto-simili, ovvero non sono divisibili in un numero di parti simili all'intera figura. Per ottenere la curva non si può quindi ricorrere alla tecnica degli IFS, ma bisogna utilizzare un'altra tecnica, quella degli L-system. Il risultato finale è un quadrato di lato unitario (che ovviamente è un frattale). Anche in questo caso, come per la curva di Peano, non è importante il frattale ma il modo in cui lo abbiamo ottenuto.

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Per prima cosa, prendete un foglio di carta e disegnate un quadrato, aiutandovi con la squadretta. Dividete questo quadrato in quattro quadratini delle stesse dimensioni, come riportato in figura. Sempre con la matita, tracciate con delicatezza le diagonali dei quadratini ed evidenziate il punto d'incontro di esse, cioè il centro di ogni quadrato. Congiungete questi centri con la matita e la squadretta, come potete vedere in figura.

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Ora suddividete a sua volta ciascuno di questi quadratini in altri quadrati più piccoli. Ancora una volta, tracciate le diagonali e individuate i relativi centri. Congiungete questi centri (punti) cominciando sempre dal quadrato in basso a sinistra e terminando con quello in basso a destra. In questo modo otterrete le figura in basso. La curva di Hilbert "grezza" è quella tracciata col colore rosso. A questo punto potete procedere con una ulteriore divisione in quadratini.

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In questo modo, otterrete la figura riportata in basso. Procedete in questo modo fino a quando la vista e gli strumenti utilizzati ve lo consentono, e congiungete i centri dei quadratini ottenuti con una penna rossa, in modo da non confondervi. Ripetendo queste operazioni all'infinito otterrete la curva di Hilbert. La particolarità geometrica di questa curva è essa tende a riempire tutto il quadrato, cioè tutto il piano. Da qui nasce la sua ambiguità: una curva (cioè una linea) che ha l'aspetto di un piano.

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