Come Classificare Le Coniche

Tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

L'equazione generale di una conica è: Ax^2 Bxy Cy^2 Dx Ey F=0. A ogni conica può essere associata una matrice del tipo: [(A, B/2, D/2), (B/2, C, E/2), (D/2, E/2, F)]. Se il determinante della matrice associata è diverso da zero, la conica è non degenere. In caso contrario è degenere. Se da queste premesse non tutto è chiaro, allora proseguite nella lettura di questo articolo per comprendere il metodo utilizzato nel classificare le coniche mediante le matrici ed in modo particolare per mezzo del calcolo del determinante. Seguirà un esempio pratico su come operare la classificazione di una conica.

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Occorrente

  • Nozioni generali sulla geometria analitica.
  • Saper operare con le matrici.
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Non in tutti i percorsi di studio si trova questo argomento di trigonometria. In base al vostro corso potrete imbattervi nella necessità di classificare le coniche. La classificazione potrebbe essere sul piano cartesiano o sul piano proiettivo. Non c'è comunque da allarmarsi, perché rispetto alla classificazione il concetto è il medesimo, per cui è indifferente il piano su cui si ipotizza la conica.

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CONSIDERIAMO IL SEGUENTE ESERCIZIO. Classifica la seguenti conica: x^2-2xy y^2 8x 8y=0. RISOLUZIONE. La sua matrice associata alla conica è la seguente: A=[(1,-1,4), (-1,14), (4,40)], il cui determinante è: |A|=-16-16-16-16=-64. Poiché il determinante di A è diverso da zero, la conica non è degenere. Per scoprire di quale conica si tratta, bisogna calcolare l'invariante quadratico I: I=|(1,-1), (-1,1)|=0. Essendo I=0, la conica è una parabola.

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CONSIDERIAMO IL SEGUENTE ESERCIZIO. Classifica la seguente conica: x^2-xy-6y^2-x 13y-6=0. RISOLUZIONE. La matrice associata alla conica è la seguente: [(1,-1/2,-1/2), (-1/2,-6,13/2), (-1/2,13/2,-6)], il cui determinante è: |A|=36 13/8 13/8 3/2-169/4 3/2= 36 13/4 3-169/4=39-156/4=39-39=0. Poiché il determinante di A è uguale a zero, la conica è degenere. Come prima, per individuare di quale conica si tratta, calcoliamo l'invariante quadratico I.

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Quindi: I=|(1,-1/2), (-1/2,-6)|=-6-1/4=-25/4. Dato che I<0, la conica è un'iperbole degenere. Consideriamo l'equazione della conica data come un'equazione in y di secondo grado e ricaviamo y da questa equazione: 6y^2-y (13-x) (-x^2 x 6)=0. Si ottiene: y=[(13-x) /- rq (169 x^2-26x 24x^2-24x-144)]/2. Svolgendo i calcoli, si ricavano due soluzioni: y=-1/2x 3/2 e y=1/3x 2/3. L'equazione della conica può quindi essere scritta come (x 2y-3)(x-3y 2)=0. Perciò, la conica data è un'iperbole degenere in due rette incidenti. X 2y-3=0 e x-3y 2=0.
Questo è quanto necessario sapere per classificare una conica. Un prossimo step potrebbe essere lo studio della sua equazione.

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