Come capire se una funzione è iniettiva

In questa lezione capiremo in che modo stabilire se una funzione è iniettiva. Anzitutto occorre conoscere la nozione di funzione. Essa è una relazione biunivoca tra due insiemi, detti dominio e codominio, in cui a ogni elemento del primo insieme corrisponde uno e un solo elemento del secondo insieme. Considerando il dominio, esso può comprendere sia tutto l'insieme dei numeri complessi, sia un intervallo definito in R, come l'insieme dei numeri naturali. La nozione di iniettività che qui daremo è valida per qualsiasi funzione tra due insiemi qualsiasi.

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Una funzione è iniettiva se ad elementi distinti del dominio si associano elementi distinti del codominio. Per capire meglio, immaginiamo due insiemi rappresentati secondo il sistema di Eulero-Venn; il primo è il dominio (D) dove sono presenti n elementi, il secondo è il codominio (C) dove sono rappresentati z elementi. Ora tracciamo per ogni elemento del dominio(nel nostro esperimento mentale pensiamo solo al disegno di qualche elemento, per evitare di immaginare l'infinito) una freccia che lo faccia corrispondere in modo biunivoco a ogni elemento (consideriamo sempre il disegno di qualche elemento) del codominio. Se nel codominio anche un solo elemento è raggiunto due volte da una freccia allora la funzione non è iniettiva. Se ,al contrario, ogni elemento di C è raggiunto da una sola freccia allora la funzione è iniettiva.


N.B. Ho specificato in questo caso gli insiemi dominio e codominio. Ricordiamo però che data una funzione f:A→B, non necessariamente A=D e B=C.

È il metodo più semplice, se l'espressione della funzione non è complessa, per capire immediatamente se una funzione è iniettiva. Se si dispone del grafico di una funzione o se ne può tracciare il grafico qualitativamente basta prendere il righello e disegnare rette parallele all'asse delle ascisse. Dando un'occhiata poi al grafico controlliamo se esse abbiano intersecato la funzione. Se anche una sola di esse ha intersecato in più punti il grafico della funzione allora essa non è iniettiva. In caso contrario è iniettiva.

Provate con le funzioni y=x e y=x^2.

Utilizziamo ora le regole dell'algebra verificare l'iniettività di una funzione. Riprendendo la definizione di funzione iniettiva notiamo che se consideriamo f(x1)=f(x2), affinché essa sia iniettiva x1=x2. Infatti, in caso in cui f(x1)=f(x2) ma x1≠x2 allora a due valori diversi del dominio corrisponde uno stesso valore del codominio. Quindi per verificare l'iniettività attraverso il metodo analitico, data una funzione y=f(x), si pone f(x1)=f(x2). Utilizzando i principi di equivalenza si risolve l'equazione e se risulta che x1=x2 allora la funzione è iniettiva.

Di seguito alcuni esempi:

1) y= 3x+2. Ha come grafico una retta. Utilizziamo dunque il metodo grafico e notiamo che la funzione è iniettiva. Verifichiamo anche algebricamente.
f(x1)=f(x2) → 3x1+2=3x2+2 → 3x1=3x2 → x1=x2
2)
y= x^2 + 2. Ha come grafico una parabola. Utilizzando il metodo grafico notiamo che le rette orizzontali intersecano più di un punto, dunque la funzione non è iniettiva.Verifichiamo anche algebricamente.f(x1)=f(x2) → x1^2+2=x2^2+2 → x1= ± x2
3)
y=e^x. È la funzione esponenziale. Il metodo grafico ci garantisce l'iniettività. Dimostrando algebricamente si ha che e^x1=e^x2 ed utilizzando le proprietà dei logaritmi si ha che x^1=x^2
.

Se ora vi è più chiaro il concetto di iniettività non vi resta che esercitarvi. Ricordatevi sempre che prima di controllare le proprietà di una funzione è meglio, a meno che non sia dato solo il grafico, capire se essa sia effettivamente una funzione. Divertitevi!

• Cercate quando possibile di immaginare o disegnare un grafico qualitativo in modo da capire subito se una funzione sia iniettiva o meno.
• Le funzioni strettamente crescenti sono iniettive.

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