Come capire se una funzione è analitica

Tramite: O2O
Difficoltà: media
17

Introduzione

Le difficoltà scolastiche relative all'apprendimento della matematica possono comportare non pochi problemi agli studenti che si approcciano alla materia in questione. La vastità della matematica fa sì che, qualora venissero trascurati determinati argomenti della disciplina, si possano riscontrare impedimenti nella totale comprensione di concetti matematici più complessi. Tra gli argomenti più ostici in assoluto troviamo le funzioni, le quali sono oggetto di studio, tra le altre cose, dell'analisi matematica. Un particolare esempio di funzione è la cosiddetta funzione analitica, ovvero espressa localmente da una determinata serie di potenze che assumono un aspetto convergente. Particolarità delle funzioni analitiche è quella di essere considerata una sorta di collegamento fittizio tra le funzioni classiche e i polinomi, vale a dire un'espressione algebrica caratterizzata dalla presenza di più costanti e variabili. Ma entriamo più nello specifico e vediamo come capire se una funzione è analitica.

27

Occorrente

  • Penna
  • Quaderno
  • Libro di testo di analisi matematica di base (con esercizi svolti)
  • Formulario sulle funzioni generiche
37

La definizione di funzioni analitiche

Prima di analizzare più da vicino il comportamento di una funzione analitica, studiamo la definizione generale e le caratteristiche di tale tipologia di funzioni. Partiamo dalla definizione. Una funzione è detta analitica quando, all'interno di un insieme aperto D relativo ad una determinata retta reale, per ogni x0 in D si può denotare la funzione f(x) nella maniera seguente:

f(x) = Σ a (x - x0)^n = a0 + a1 (x - x0) + a2 (x - x0)^2 + a3 (x - x0)^3 + (...);

In una formula simile, a0, a1 e così via consistono in numeri reali, mentre si definisce la serie come "convergente in un intorno di x0". Per loro natura, le funzioni analitiche sono infinitamente derivabili. Diverso il discorso delle funzioni analitiche complesse, dotate di proprietà specifiche che si discostano da quelle delle funzioni analitiche reali.

47

La dimostrazione di analiticità

Alla luce di quanto enunciato in precedenza, si può affermare che una funzione è analitica solamente nel caso in cui, dopo aver preso in considerazione un punto che appartiene al dominio D della funzione analizzata, vi è la certezza che esista un suo intorno nel quale la funzione stessa coincide con il suo sviluppo nella rappresentazione della serie di Taylor (ovvero la formula enunciata nel paragrafo precedente). Per comprendere meglio quanto affermato, facciamo un esempio pratico. Si tenga conto del punto h con coordinate (a, b); se h (x) è diverso da 0 e ogni valore di x appartiene alle coordinate (a, b), si avrà:

f(x) = 1/g(x),

la quale corrisponde ad una funzione analitica.

Continua la lettura
57

L'intervallo di validità della funzione analitica

Continuando nella dimostrazione, prendendo come esempio una funzione qualsiasi (es.: f(x) = 1/x+1), g(x) consisterà in una funzione polinomiale. Essendo polinomiale, essa sarà analitica per tutta l'ampiezza dell'asse reale. Tenendo presente che la funzione si annulla per x = -1, l'unico intervallo all'interno del quale la funzione sarà valida è (-1, +∞). In seguito alla dimostrazione di analiticità è necessario procedere con il calcolo dello sviluppo di Taylor-McLaurin, calcolando nella maniera canonica le derivate relative alla funzione analitica in esame e giungendo quindi ad una formulazione più completa della funzione stessa. Se desideri altre informazioni su come capire se una funzione è analitica consulta il link: https://www.youmath.it/forum/analisi-2n/70720-funzione-analitica.html.

67

Guarda il video

77

Consigli

Non dimenticare mai:
  • La difficoltà nell'apprendimento dei concetti matematici aumenta man mano che si affrontano argomenti sempre più complessi. Proprio per questo motivo è fondamentale studiare in profondità la teoria in merito ai vari concetti analizzati (in questo caso le funzioni analitiche) prima di passare allo svolgimento di esercizi pratici.
  • Per consolidare al meglio i concetti teorici analizzati, è utile svolgere gli esercizi di pratica tenendo a portata di mano un formulario con le informazioni di base relative alle funzioni studiate.
Alcuni link che potrebbero esserti utili:

Potrebbe interessarti anche

Segnala contenuti non appropriati

Tipo di contenuto
Devi scegliere almeno una delle opzioni
Descrivi il problema
Devi inserire una descrizione del problema
Si è verificato un errore nel sistema. Riprova più tardi.
Segnala il video che ritieni inappropriato
Devi selezionare il video che desideri segnalare
Verifica la tua identità
Devi verificare la tua identità
chiudi
Grazie per averci aiutato a migliorare la qualità dei nostri contenuti

Guide simili

Superiori

Come capire se funzione è invertibile

Una funzione f risulta invertibile solo nel caso risulti possibile definire una nuova funzione f^(-1) che percorre al contrario la legge di f. Questo è verificabile se e solo se f risulti essere biunivoca, ovvero contenga la proprietà dell’iniettività...
Superiori

Come trovare l'equazione della retta in geometria analitica

Se il vostro insegnante vi ha assegnato un problema da risolvere di geometria analitica, e nello specifico vi chiede di trovare l’equazione della retta, non è il caso di preoccuparvi, poiché nei passi successivi di questa guida troverete la soluzione...
Superiori

Come studiare un parametro in geometria analitica

Un esercizio che viene spesso assegnato dagli insegnanti di matematica riguarda un parametro della geometria analitica, che per essere approfondito necessita di uno studio appropriato affinché l'esito sia soddisfacente. Se avete dei dubbi in merito...
Superiori

Come trovare le rette tangenti ad una circonferenza in geometria analitica (metodo del delta)

La geometria analitica o cartesiana è una disciplina molto importante della matematica, e si riferisce allo studio delle figure geometriche attraverso il sistema di coordinate cartesiane. Ogni punto del piano cartesiano si indica con P (x, y), in quanto...
Superiori

Geometria analitica: l'iperbole

La geometria analitica studia le figure geometriche attraverso il piano cartesiano, in cui ogni punto è definito da due coordinate; con il termine ascisse indichiamo l'asse delle x e con ordinate l'asse delle y. Nella guida che segue ci occuperemo di...
Superiori

Come dimostrare una funzione suriettiva

La matematica, come detto moltissime volte, è una materia tanto affascinante quanto difficile da apprendere. Non sono pochi, infatti, gli studenti che, durante i loro anni di studio, si ritrovano a doversi barcamenare con l'apprendimento di questa materia....
Superiori

Come disegnare il grafico di una funzione omografica

Una funzione omografica si definisce tale quando è individuata da una funzione che possiede la forma di y = (ax + b) / (cx + d). Le lettere a, b, c, e d appartengono all'insieme dei numeri reali e tutta la formula permette di arrivare all'individuazione...
Superiori

Geometria analitica: l'ellisse

L'ellisse è il luogo geometrico dei punti del piano, per i quali è costante la somma delle distanze da due punti dati detti fuochi. Ciò significa che se prendiamo un punto P sull'ellisse in una posizione qualsiasi, calcoliamo la somma delle distanze...
I presenti contributi sono stati redatti dagli autori ivi menzionati a solo scopo informativo tramite l’utilizzo della piattaforma www.o2o.it e possono essere modificati dagli stessi in qualsiasi momento. Il sito web, www.o2o.it e Arnoldo Mondadori Editore S.p.A. (già Banzai Media S.r.l. fusa per incorporazione in Arnoldo Mondadori Editore S.p.A.), non garantiscono la veridicità, correttezza e completezza di tali contributi e, pertanto, non si assumono alcuna responsabilità in merito all’utilizzo delle informazioni ivi riportate. Per maggiori informazioni leggi il “Disclaimer »”.