Come capire se una funzione è analitica

Le difficoltà scolastiche relative all'apprendimento della matematica possono comportare non pochi problemi agli studenti che si approcciano alla materia in questione. La vastità della matematica fa sì che, qualora venissero trascurati determinati argomenti della disciplina, si possano riscontrare impedimenti nella totale comprensione di concetti matematici più complessi. Tra gli argomenti più ostici in assoluto troviamo le funzioni, le quali sono oggetto di studio, tra le altre cose, dell'analisi matematica. Un particolare esempio di funzione è la cosiddetta funzione analitica, ovvero espressa localmente da una determinata serie di potenze che assumono un aspetto convergente. Particolarità delle funzioni analitiche è quella di essere considerata una sorta di collegamento fittizio tra le funzioni classiche e i polinomi, vale a dire un'espressione algebrica caratterizzata dalla presenza di più costanti e variabili. Ma entriamo più nello specifico e vediamo come capire se una funzione è analitica.

• Penna
• Quaderno
• Libro di testo di analisi matematica di base (con esercizi svolti)
• Formulario sulle funzioni generiche

Prima di analizzare più da vicino il comportamento di una funzione analitica, studiamo la definizione generale e le caratteristiche di tale tipologia di funzioni. Partiamo dalla definizione. Una funzione è detta analitica quando, all'interno di un insieme aperto D relativo ad una determinata retta reale, per ogni x0 in D si può denotare la funzione f(x) nella maniera seguente:

f(x) = ? a (x - x0)^n = a0 + a1 (x - x0) + a2 (x - x0)^2 + a3 (x - x0)^3 + (...);

In una formula simile, a0, a1 e così via consistono in numeri reali, mentre si definisce la serie come "convergente in un intorno di x0". Per loro natura, le funzioni analitiche sono infinitamente derivabili. Diverso il discorso delle funzioni analitiche complesse, dotate di proprietà specifiche che si discostano da quelle delle funzioni analitiche reali.

Alla luce di quanto enunciato in precedenza, si può affermare che una funzione è analitica solamente nel caso in cui, dopo aver preso in considerazione un punto che appartiene al dominio D della funzione analizzata, vi è la certezza che esista un suo intorno nel quale la funzione stessa coincide con il suo sviluppo nella rappresentazione della serie di Taylor (ovvero la formula enunciata nel paragrafo precedente). Per comprendere meglio quanto affermato, facciamo un esempio pratico. Si tenga conto del punto h con coordinate (a, b); se h (x) è diverso da 0 e ogni valore di x appartiene alle coordinate (a, b), si avrà:

f(x) = 1/g(x),

la quale corrisponde ad una funzione analitica.

Continuando nella dimostrazione, prendendo come esempio una funzione qualsiasi (es.: f(x) = 1/x+1), g(x) consisterà in una funzione polinomiale. Essendo polinomiale, essa sarà analitica per tutta l'ampiezza dell'asse reale. Tenendo presente che la funzione si annulla per x = -1, l'unico intervallo all'interno del quale la funzione sarà valida è (-1, +?). In seguito alla dimostrazione di analiticità è necessario procedere con il calcolo dello sviluppo di Taylor-McLaurin, calcolando nella maniera canonica le derivate relative alla funzione analitica in esame e giungendo quindi ad una formulazione più completa della funzione stessa. Se desideri altre informazioni su come capire se una funzione è analitica consulta il link: https://www.youmath.it/forum/analisi-2n/70720-funzione-analitica.html.

• La difficoltà nell'apprendimento dei concetti matematici aumenta man mano che si affrontano argomenti sempre più complessi. Proprio per questo motivo è fondamentale studiare in profondità la teoria in merito ai vari concetti analizzati (in questo caso le funzioni analitiche) prima di passare allo svolgimento di esercizi pratici.
• Per consolidare al meglio i concetti teorici analizzati, è utile svolgere gli esercizi di pratica tenendo a portata di mano un formulario con le informazioni di base relative alle funzioni studiate.

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