Come capire se funzione è invertibile

Tramite: O2O 24/08/2018
Difficoltà: media
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Introduzione

Una funzione f risulta invertibile solo nel caso risulti possibile definire una nuova funzione f^(-1) che percorre al contrario la legge di f. Questo è verificabile se e solo se f risulti essere biunivoca, ovvero contenga la proprietà dell?iniettività e della suriettività.
In questa guida analizzeremo queste due proprietà al fine di chiarire il significato di invertibilità e scopriremo come capire se ad una funzione appartiene tale proprietà.

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Occorrente

  • Foglio
  • Matita
  • Righello
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La proprietà dell’iniettività e come verificarla

Una funzione è iniettiva se ad elementi distinti del dominio associa elementi diversi del codominio. Per verificare l?iniettività della funzione f pongo f(x1)=f(x2) con x1 e x2 due variabili generiche. Se al termine del calcolo dell?uguaglianza risulta come unica soluzione x1=x2 la funzione sarà sicuramente iniettiva. Nel caso invece emergano più soluzioni tale funzione non godrà della proprietà dell?iniettività.

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La proprietà della suriettività e come verificarla

Una funzione f invece risulta essere suriettiva se ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio, si può quindi verificare che un elemento del codominio venga raggiunto da più elementi del dominio. Ovvero, per stabilire se una funzione è suriettiva, vale l?uguaglianza che associa ad ogni y appartente ad R una x della funzione, quindi f(x)=y.

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La definizione delle funzioni invertibili

Occupiamoci dunque, dopo le precedenti chiarificazioni, delle funzioni invertibili, ovvero quelle funzioni che ammettono un?inversa. Come precedentemente affermato una funzione è invertibile se e solo se è biunivoca, ovvero iniettiva e suriettiva.
In parole povere, data una funzione come esempio y=nx, con insieme delle y dominio e insieme delle x codominio; la sua funzione inversa sarà del tipo x=y/n, con insiemi di dominio e codominio invertiti rispetto alla precedente.

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Il grafico delle funzioni inverse

Si può inoltre essere sicuri nell?affermare che per funzioni di variabile reale (ovvero una legge che agisce sui numeri reali per trasformarli in altri numeri reali) il grafico della funzione inversa di f è simmetrico al grafico della funzione f rispetto alla diagonale x=y, ovvero la bisettrice del primo e del terzo quadrante.

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Il simbolo della funzione inversa

In conclusione il sibolo di una funzione f(x) invertita è f^(-1)(x). Altrimenti un modo ulteriore per indicare una funzione inversa risulta esprimere tale funzione sotto forma di x in funzione di y (come abbiamo visto al passo 3) diametralmente in opposizione alla funzione presa in esame (in cui quindi il dominio della funzione precedente viene sostituito dal suo codominio e il codominio dal dominio di tale funzione).

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