Lebesgue è un matematico francese (nato nel 1875 e morto nel 1941) che cerca di superare i limiti dell'assioma del suo precedessore tedesco formulando la sua teoria dell'integrazione, pubblicata per la prima volta nel 1902, nella sua tesi dal titolo "Intérale, longueur, aire". Nel suo assioma cerca di basare il concetto di integrale anche a funzioni semplici e misurabili che hanno un numero finito di valori per poi estenderlo anche a funzioni più complesse, inoltre definisce il concetto di "misura di Lebesgue, in cui la lunghezza viene estesa a intervalli e sistemi misurabili. La funzione è integrabile per questo studioso quando la controimmagine (ossia l'insieme degli elementi del dominio che la funzione associa al sottoinsieme dato) di ogni intervallo (a,b) è in X, in simboli f-1(I) appartiene a X, dove I è L'ntervallo a e b.