Come capire se funzione è integrabile

Le funzioni integrabili sono uno degli argomenti di matematica più studiati e più complessi da capire e da interpretare. La prima teoria relativa a questo concetto matematica fu sviluppata da Archimede i cui limiti vennero in parte superati successivamente da Newton e Leibniz, ma si devono a due studiosi, il primo tedesco e il secondo francese, le teorie relative alla definizione e al calcolo delle funzioni integrabili. In questa breve guida cercherò di semplificare il concetto studiato da Riemann prima e da Lebesgue dopo, per renderlo accessibile a più persone in modo che si possa capire con più facilità non solo se una funzione può essere definita integrabile, ma anche come analizzarla.

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• Appunti

Per capire se una funzione è integrabile ci sono più teoremi. Si parte dalla definizione di integrazione, ossia quell'operazione matematica in cui si identifica l'area delimitata dell'asse delle ascisse nel grafico di una funzione e di integrale inteso come un operatore che associa alla funzione stessa l'area del grafico racchiusa in un dato intervallo. Per Riemann una funzione limitata può dirsi integrabile quando e se esiste entro un limite dato dal dominio, mentre per Lebesgue la funzione si dice integrabile quando il suo estremo superiore è finito e deve essere definita e continua in un intervallo dato.

Il teorema di Riemann, un matematico e fisico tedesco che visse nel 1800 e che contribuì in modo importante allo sviluppo della matematica, afferma che: una funzione matematica limitata f:[a,b] si dice integrabile nell'intervallo [a,b] se risulta superiore [s(f)]=inferiore[S(f)].... (intuitivamente si prendono suddivisioni di a e b sempre più fini). Il valore che ne deriva viene chimato "Integrale di Riemann". Da questa definizione si possono estrapolare e studiare dei criteri di integralità che rende più pratico il calcolo, in particolare una funzione continua su (a,b) sono integrabili per definizione, così come lo sono le funzioni monotone e quelle limitate con un numero finito di discontinuità su a e b.

Lebesgue è un matematico francese (nato nel 1875 e morto nel 1941) che cerca di superare i limiti dell'assioma del suo precedessore tedesco formulando la sua teoria dell'integrazione, pubblicata per la prima volta nel 1902, nella sua tesi dal titolo "Intérale, longueur, aire". Nel suo assioma cerca di basare il concetto di integrale anche a funzioni semplici e misurabili che hanno un numero finito di valori per poi estenderlo anche a funzioni più complesse, inoltre definisce il concetto di "misura di Lebesgue, in cui la lunghezza viene estesa a intervalli e sistemi misurabili. La funzione è integrabile per questo studioso quando la controimmagine (ossia l'insieme degli elementi del dominio che la funzione associa al sottoinsieme dato) di ogni intervallo (a,b) è in X, in simboli f-1(I) appartiene a X, dove I è L'ntervallo a e b.

• Integrale di Riemann
• Integrale di Lebesgue