Come capire se due rette sono parallele tra loro

Si dicono parallele due rette che, prolungate all'infinito da entrambi i lati, non si incontrano mai. È una condizione presente molto spesso nei problemi di matematica. Spesso si chiede direttamente se le rette sono parallele, oppure questa verifica è un passaggio fondamentale per proseguire con lo svolgimento del problema. Disegnare le rette sul piano cartesiano può prendere molto tempo. Inoltre la verifica visiva non è sufficiente, perché le due rette potrebbero essere solo apparentemente parallele. Esistono invece dei metodi matematici che ci dicono con certezza se possiamo considerare parallele le rette in esame. Vediamo quindi nel dettaglio come capire se le rette rispettano le condizioni di parallelismo.

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Innanzitutto, occorre sapere che le equazioni che descrivono una retta sono di primo grado. Infatti, un'equazione di primo grado è un'equazione il cui grado massimo delle incognite è uguale a 1. Possiamo esprimere l'equazione della retta in modo esplicito, nella forma y = mx+q, oppure in modo implicito, nella forma ax+by+c=0. Per capire se le due rette sono parallele occorre averle nella forma esplicita. Se sono invece in forma implicita occorre trasformarle in esplicita. Partendo dall'equazione ax+bx+c=0 si lascia la by a sinistra e si porta il resto a destra, ottenendo by=-ax-c. A questo punto dividiamo tutto per b, da entrambi i lati: bx/b=-ax/b-c/b. Semplificando avremo che y=(-a/c) x-c/b. Ciò significa che rispetto alla formula esplicita y=mx+q si hanno i seguenti valori: m=-a/b e q=-c/b.

A questo punto analizziamo l'equazione esplicita delle rette, nella forma y=mx+q. La m è il cosiddetto coefficiente angolare, ed indica precisamente l'inclinazione della retta rispetto al piano cartesiano. Se positivo la retta va dal basso a sinistra verso l'alto a destra, viceversa se negativo. La q è invece il cosiddetto termine noto, che indica il punto in cui la retta incrocia l'asse delle ascisse.

Come detto, il coefficiente angolare è quello che determina l'inclinazione della retta rispetto al piano cartesiano. Proprio per questo motivo è il valore che ci interessa per stabilire se due rette sono parallele. Saranno tali, infatti, se presentano la stessa inclinazione sul piano cartesiano. Ciò significa che il coefficiente angolare di due rette parallele deve essere uguale. È invece irrilevante che due rette presentino lo stesso coefficiente noto, che può assumere qualunque valore. In pratica per capire se due rette sono parallele occorre verificare che il loro coefficiente angolare sia uguale, per valore e per segno. Ad esempio sono parallele le rette y=3x+5 e y'=3x-2, mentre non lo sono le rette y=3x+2 e y=-2x+1.

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