Come calcolare una spline cubica

tramite: O2O
Difficoltà: difficile
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Introduzione

Nel corso dei nostri studi, scolastici o universitari, ci siamo imbattuti in materie piuttosto ostiche e difficili. Tra queste vi è, senza ombra di dubbio, la matematica. Questa materia racchiude al proprio interno tematiche e argomenti davvero molto spinosi e difficili. Questa guida tratterà uno di questi argomenti, ovvero la funzione spline, e nello specifico il calcolo di una funzione spline cubica. Vediamo, quindi, senza ulteriori indugi o preamboli, attraverso questa semplicissima guida, articolata in efficacissimi e brevissimi passaggi, come calcolare una spline cubica.

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Il calcolo della Spline cubica, pur essendo più difficile da ottenere, ha un vantaggio di gran lunga notevole. Essa è infatti derivabile due volte sull'intervallo considerato. Ha, quindi, una curvatura continua. Ogni tratto della curva si costituisce di un polinomio nella forma ax3 + bx2 + cx + d. Quelli che cambiano sono solo i vincoli adottati e, quindi, anche il sistema lineare di equazioni che viene preso in considerazione.

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La funzione Spline è uno strumento molto efficace anche nell'analisi e nella descrizione dei dati sperimentale, quindi non solo nell'ambito dell'analisi numerica. I classici polinomi interpolanti subiscono purtroppo alcune limitazioni. Ad esempio, supponiamo di possedere N punti. Possiamo interpolarli con un polinomio di grado N-1 di Lagrange. A questo punto osserveremo che aumentando N, il polinomio interpolante, seppur passante per i punti dati, ha un andamento piuttosto oscillante. Questo inconveniente lo si può controllare e limitare per mezzo delle funzioni Spline, che invece sono polinomi continui ma a tratti. Queste ultime possiedono un carattere locale, il più delle volte, descrivono curve meno oscillanti in confronto ai polinomi. Le B-Spline rappresentano una variante delle spline. Permettono di sfruttare una serie di altri vantaggi nel campo computazionale. Sono, inoltre, particolarmente utili nelle problematiche di interpolazione in tre o due dimensioni.

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Per ottenere una spline cubica occorre adottare due condizioni in più alle n+1 condizioni di interpolazioni. Dalla loro scelta si ricavano spline cubiche diverse tra loro.
Tra queste troviamo la Spline naturale, che si ottiene imponendo questa scelta :
s''3(a)=0, s''3(b)=0.
Un altro tipo di spine cubica è quella completa. In questa particolare tipo di Spline si suppone di conoscere già i valori di f′(x) agli estremi di partizione. A questo punto adottiamo:
s'3(a)=s'3(b), s''3(a)=s''3(b).
Il terzo tipo di Spline cubica la si ottiene adottando un stesso polinomio Π3 che costituisce una restrizione sull'intervallo [x0, x1] ∪ [x1, x2] della nostra Spline. Anche un altro polinomio simile fa lo stesso sull'intervallo [xn−1, xn−1] ∪ [xn−1, xn]. Le condizioni che adotteremo saranno quindi:
s′′′3|[x0, x1](x1) = s′′′3 |[x1, x2](x1), s′′′3|[xn−1, xn−1](xn −1) = s′′′3 |[xn−1, xn](xn−1) .

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Per intraprendere questo tipo di studio dovete possedere delle basi matematiche piuttosto solide.
Alcuni link che potrebbero esserti utili:

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