Come calcolare una base per il nucleo e l'immagine di un sottospazio
Introduzione
Il nucleo è un'applicazione lineare che ha immagine nulla, cioè è l'insieme degli elementi che vengono mandati in zero dall'applicazione. In generale è legato al concetto di funzione iniettiva. Il nucleo è un sottoinsieme del dominio della funzione, e viene spesso indicato come \ker (f), dal tedesco Kern. Nella presente guida verrà illustrato un procedimento pratico e ragionato del calcolo di una base per il nucleo e per l'immagine di un sottospazio in un esercizio universitario, che riveste un ruolo chiave perché ci fornisce la quasi totalità delle informazioni che riguardano l'applicazione lineare considerata. Teniamo anche presente che eredita le medesime proprietà algebriche dello spazio in cui vive. Inoltre, nucleo e immagine si comportano in maniera complementare, overossia, fungendo ognuno di essi alla funzionalità dell'altro. Ecco come calcolare una base per il nucleo e l'immagine di un sottospazio.
Occorrente
- Nozioni basilari sulla dipendenza e l'indipendenza lineare.
- Nozioni basilari sul nucleo, l'immagine e la base di sottospazi.
CONSIDERIAMO IL SEGUENTE ESERCIZIO. Dato il seguente sottospazio, calcolarne una base per il nucleo e l'immagine. V=[(x, y, z, t) appartenente a R^4 tale che: 2x z=0, 3t-y=0]. RISOLUZIONE. È evidente che questo primo sottospazio sia un'applicazione lineare, in cui viene fornito l'insieme di appartenenza (R^4) e le equazioni che lo definiscono. Ora procediamo ad operare, tenendo conto che il nucleo deve mandare a zero la propria immagine.
Prendiamo le equazioni del primo sottospazio e poniamole uguali a zero (anche se lo sono già, ma in generale, bisogna comportarsi in questo modo) in un sistema. Avremo un sistema omogeneo con due equazioni in due incognite: Ker (V):2x-z=0 e 3t-y=0. Per sapere quanti vettori deve avere la base del nucleo, costruiamo la matrice associata al sistema: Ker (V)=[(2,0,1,0); (0,-1,0,3)]. Notiamo che questa matrice ha rango 2: per questo motivo, la dimensione di Ker(V) è: 4(dimensione di R^4)-2(rango di Ker (V)=2.
La dimensione di Ker (V) è 2, motivo per cui ci sono due vettori all'interno della sua base. Per trovare questa base, bisogna risolvere il sistema in funzione di due incognite (dimensione=2). Perciò, ad esempio, poniamo: y=3t e z=-2x. Assegnando reciprocamente 0 e 1 alla t e alla x, si ottengono i due vettori della base, che sono: B (Ker (V)=[(0,3,0,1); (1,0,-2,0)]. Con il teorema della dimensione, ora, calcoliamo la dimensione dell'immagine di V: dim (Im (V)=4(dimensione di R^4)-2(dimensione di Ker (V)=2. Anche l'immagine di V ha dimensione 2. Pertanto, una sua base per l'immagine è formata dai vettori linearmente indipendenti di V, ossia tutti e due. Quindi: B (Im (V)=[(2,0,1,0); (0,-1,0,3)].