Come calcolare una base dell'intersezione di due sottospazi

La matematica è una delle materie più belle e complesse che esistano, impararla non è per nulla semplice e richiede molti anni di studio e pazienza per essere compresa ed assimilata, e non tutti ci riescono. È inoltre necessario avere delle buone basi per poter procedere allo studio di argomenti più complessi. In questa breve e semplice guida, vi spiegherò rapidamente come calcolare una base dell'intersezione di due sottospazi. Dovrete riuscire nel vostro intento attraverso la risoluzione guidata di un esercizio universitario. L'obiettivo è quello di fornirvi un modello sufficientemente valido da seguire. In questa circostanza specifica, l'intersezione dei due sottospazi si potrà definire in R^4. Inoltre, uno dei due elemento consiste in una serie di funzioni vettoriali. Nel seguente tutorial che adesso vi andrò a mostrare, la dicitura "V-inter-W" sarà utile per sostituire il simbolo iniziale dell'intersezione conclusiva.

• Saper calcolare una base per i sottospazi.

Per calcolare una base dell'intersezione di due sottospazi, vi suggerisco di considerare l'esercizio seguente. Inizialmente, avete a che fare con questi sottospazi in R^4: W=[(x, y, z, t) appartenenti a R^4 tali che: x-y z-t=0] e V=<(1,-1,0,2), (1,0,3,-1)>. Dovete determinare una base fatta di "V-inter-W". Adesso, passate alla risoluzione del problema. Prendete V e costituite una sua matrice associata: V=[(1,-1,0,2), (1,0,3,-1)]. Potete facilmente intuire che il rango effettivo di questa matrice corrisponda a 2. Per questa motivazione, trovandosi essa in R^4, la sua dimensione risulta: dimV=4-2=2. Dato che stiamo già parlando di grandezze vettoriali, una sua base si determina proprio con gli stessi vettori: Bv=[(1,-1,0,2), (1,0,3,-1)].

Adesso, proseguite calcolando una base per W. La stessa consiste in un'unica equazione. Per questo motivo, il valore del rango della matrice corrisponde ad 1, mentre quello della dimensione è 3. Una base è questa: B (W)=[(1,0,0,1), (-1,0,1,0), (1,1,0,0). Per comprendere ancora meglio come calcolare una base dell'intersezione di due sottospazi, bisogna conoscere le fondamenta nozionistiche. Una base che appartenga all'intersezione tra due sottospazi è una base che, considerati V e W insiemi, si trova proprio nell'intersezione tra i due insiemi. Quindi, tale base deve appartenere sia a V che a W. Per riuscire nel vostro intento, create un vettore generico V, in grado di appartenere sia a V che a W.

Potete esprimere questo vettore come: a (1,-1,0,2) (1,0,3,-1). Tale valore è uguale a: (a b,-a,3b,2a-b). Per appartenere al sottospazio W, esso deve anche soddisfare il sistema che definisce lo spazio corrispondente. Quindi, sostituendo le coordinate del vettore nell'equazione già citata, potete ottenere: a b a 3b-2a b=0. In pratica, il risultato è 4b=0. Ossia: b=0. Adesso, dovete sostituire questo valore nella funzione (a b,-a,3b,2a-b), ottenendo: (a,-a,0,2a). Assegnando, ad esempio, il valore 1 ad a, ottenete una base di dimensione 1 di "V-inter-W": [(1,-1,0,2)].
Effettuare un determinato tipo di operazioni non è per nulla semplice, è necessario infatti molto studio ed esercizio, senza il quale apprendere al meglio la materia non è per nulla semplice. Seguendo le indicazioni di questa guida potrete imparare come si calcola la base dell'intersezione di due sottoinsiemi molto più rapidamente e facilmente rispetto ad un testo universitario, chiarendovi meglio il concetto. Vi auguro quindi buono studio.
Alla prossima.

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