Come calcolare un integrale per sostituzione

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Tra le varie tecniche utilizzabili per calcolare un integrale ce n'è una che prevede di ricondurre il calcolo dell'integrale assegnato al calcolo di un altro integrale, più semplice da gestire ma equivalente a quello iniziale dal punto di vista analitico, ricorrendo ad una opportuna sostituzione della variabile di integrazione. Questa tecnica prende il nome di "integrazione per sostituzione". In questa guida cerchetemo di spiegare come utilizzare in modo semplice e veloce questa tecnica. Che cos'è una funzione?

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Occorrente

  • Conoscenza di base delle nozioni della matematica
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La prima cosa da fare è decidere in che modo sostituire la variabile di integrazione. Ci sono due alternative: è possibile sostituire un intero pezzo della funzione da integrare con una nuova variabile oppure si può sostituire la singola variabile di integrazione con una funzione di un'altra variabile. Nel secondo caso è necessario però fare in modo che la funzione scelta risulti invertibile. Una volta compiuta la scelta (che, ovviamente, non è casuale ma dipende dal modo in cui si presenta la funzione da integrare), occorre procedere in due modi che si differenziano un po' l'uno dall'altro. Andiamo dunque a vedere in che modo compiere la scelta e come procedere in seguito.

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Cominciamo con il caso in cui si decida di sostituire un intero pezzo della funzione da integrare. Tale sostituzione va scelta quando l'integrale si presenta nella forma ∫f [g (x)] g'(x) dx ovvero quando si riconosce nella funzione da integrare una funzione composta - ovvero una funzione che contiene al suo interno un'altra funzione, cioè la nostra f [g (x)] - e si nota che è anche presente la derivata della funzione interna - nel nostro caso g (x) è la funzione interna e g'(x) ne è la derivata - a moltiplicare la funzione composta. Ebbene, in siffatte ipotesi si pone t=g (x) - al posto di t si potrebbe scegliere una qualunque altra lettera a patto che non sia già presente nell'integrale - e si differenzia tale uguaglianza sia a sinistra che a destra ottenendo dt=g'(x) dx; a questo punto si torna nell'integrale di partenza e si sostituiscono g (x) con t e g'(x) dx con dt, sicché il nuovo integrale che si ottiene è ∫f (t) dt. A questo punto si risolve l'integrale in t ottenendo la soluzione in t: non ci resta che sostituire "al contrario" la t con la g (x) ed abbiamo finito. L'immagine proposta a fianco rappresenta il come svolgere questi passaggi appena descritti.

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Passiamo, invece, adesso al caso in cui si decida di sostituire la singola variabile di integrazione con una funzione di un'altra variabile. Tale tipo di sostituzione si sceglie quando l'integrale si presenta nella forma ∫f (x) dx, ovvero quando non si riconosce la funzione composta ma o non si riconosce la funzione più interna o quando manca la derivata di questa a moltiplicare la funzione composta. In tal caso si pone x=g (t), ovvero si sceglie una funzione g (t) - facendo attenzione che sia invertibile - e si impone che questa sia uguale alla singola x. Fatto ciò occorre fare due cose: la prima è differenziare l'uguaglianza x=g (t) sia a destra che a sinistra ottenendo dx=g'(t) dt, la seconda è sostituire tutte le x con g (t) e dx con g'(t) dt. A questo punto avremo ottenuto un nuovo integrale in t: risolvendolo otterremo le soluzione in t indi per cui per ottenere quelle x occorrerà calcolare t in funzione di x a partire da x=g (t) e sostituire. Ecco perché è importante che g (t) sia invertibile. L'immagine proposta a fianco mostra un esempio che chiarisce questo modo di procedere.

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Infine ricordate che la capacità di scegliere correttamente la sostituzione si affina con l'esercizio e che lo scopo della sostituzione è quello di farvi ottenere un integrale più semplice di quello iniziale. Inoltre, con gli integrali particolarmente difficili, potrebbe essere necessario combinare la tecnica di sostituzione con altre tecniche, come ad esempio quella per parti.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Si consiglia di spolverare le nozioni principali della matematica prima di procedere allo studio degli integrali.
Alcuni link che potrebbero esserti utili:

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