Come calcolare un integrale per parti

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Il metodo di integrazione per parti è uno dei più semplici e principali metodi di risoluzione di un integrale.
Si tratta in pratica di un metodo per calcolare la primitiva di un prodotto di due funzioni, assumendo l'ipotesi che una di queste due funzioni in oggetto sia la derivata di qualche altra funzione nota.
Insieme al metodo di integrazione per sostituzione, risulta essere quello più utilizzato per la risoluzione di integrali più o meno semplici. Questo specifico argomento risulta essere spesso difficoltoso per moltissimi studenti, ma impegnandosi da soli tramite ricerche sul web e libri appropriati risulta essere possibile capire tale procedimento senza troppe difficoltà. In tal modo risulta essere possibile riuscire a risparmiare un'importante somma di denaro, poiché non sarà necessario rivolgersi ad un professore privato per seguire delle lezioni private, le quali spesso possono essere eccessivamente costose. Di certo, riscontrare un risparmio economico non è un dettaglio da sottovalutare, soprattutto in questo periodo caratterizzato da una spiacevole crisi economica. Ecco come calcolare un integrante per parti.

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Due funzioni

Si considerino esattamente due funzioni, continue e derivabili, che chiameremo da ora in poi precisamente f e g.

Risulta essere piuttosto noto che la derivata del loro prodotto è data precisamente dalla formula:

(f g)' = f' g + f g'

da cui si ricava che f g' = (f g)' - f' g.

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Secondo membro

Integrando primo e secondo membro dell'equazione si ottiene che:

∫ f (x) g'(x) dx = f (x) g (x) - ∫ f'(x) g (x) dx

Tale uguaglianza prende il nome di Formula di integrazione per parti.

Come si può notare dalla formula, quello che si sta tentando di fare è di esprimere l'integrale indefinito di f g' in termini dell'integrale indefinito f' g, ovviamente sperando che quest'ultimo sia più semplice da calcolare.

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Integrali

Si potrebbe utilizzare anche nel caso in cui l'integranda è il prodotto di due funzioni e una di queste è la derivata di una primitiva immediata, come ad esempio nel caso di funzioni esponenziali, trigonometriche o potenze di x, insomma di primitive note e/o di semplice calcolo.
L'importanza sta anche quindi nella scelta di quale funzione integrare e quale invece derivare.
In taluni casi infatti scegliendo in maniera incorretta quale funzione associare a f (x) e a g (x) il calcolo risulta essere inconcludente, in quanto potrebbe portare ad una situazione di calcoli ripetitivi che non portano ad un risultato esatto ed univoco.

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