Come calcolare un integrale indefinito o definito

L'integrale è l'operazione inversa della derivata: calcolare l'integrale di una funzione equivale a calcolare l'area sottesa alla curva di quella funzione sul grafico cartesiano. Possiamo considerare il nostro asse x composto da infiniti segmenti infinitesimi che chiameremo dx. Prendiamo tutti i rettangolini di base dx (che nonostante l'andamento della funzione si approssimano in modo netto, poiché di base infinitesima) e altezza corrispondente all'immagine di ogni dx sull'asse y. Sommiamoli, partendo da meno a più infinito e in questo modo otterremo l'area sotto la curva, che è proprio il nostro integrale. Con i passi seguenti vedremo come calcolare un integrale indefinito o definito.

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Se l'integrale è indefinito, come risultato, invece di ottenere una costante, otterremo una funzione più una costante. Questa funzione varierà al variare degli estremi, perché essendo l'integrale l'opposto della derivata, ci sono molte funzioni diverse che come derivata danno uno stesso risultato. Esempio: y= x^2 + 5 e y=x^2 +4 danno entrambe come derivata 2x: la costante C rappresenta tutte le infinite costanti accettabili affinché la derivata della funzione coincida proprio con la nostra funzione da integrare.

Se, invece, l'integrale è di tipo finito, significa che stiamo ricercando l'area in un determinato settore della nostra funzione. Quindi, i due estremi di integrazione coincidono graficamente con le 2 coordinate sull'asse delle ascisse in cui vogliamo limitare la nostra funzione. In questo caso otterremo un valore costante.

Cominciamo dalla sommatoria per i che va da 1 a n di f (xi)*(estremo2-estremo1)/rettangolini infinitesimi contenuti tra i due estremi. Applicando il limite per n che tende a + infinito della nostra somma integrale otterremo l'area della funzione in tutto il suo dominio. Ci sono molti modi per risolvere un integrale. Si può tentare un approccio per via grafica, se la funzione rappresenta una figura geometrica nota, oppure si applicano le formule classiche. Esiste l'integrazione per parti, che prevede l'applicazione di questa formula: integrale f (x)*derivata g (x)= f (x)*g (x)- integrale g (x)* derivata f (x). Oppure, si può usare il metodo della sostituzione, che consiste nell'effettuare un cambio di variabile (e varieranno anche gli estremi di integrazione e il "dx") per ricondursi ad una forma nota. È bene ricordare che per gli integrali vale la proprietà di linearità, quindi in caso di somme nell'integrale si possono fare vari integrali separati tra loro.

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