Come calcolare massimi, minimi e punti di sella con hessiano

In matematica, la matrice hessiana di una funzione di n variabili a valori in un campo di scalari, anche detta matrice di Hesse o semplicemente hessiana, è la matrice quadrata n × n delle derivate parziali seconde della funzione. Il nome è dovuto a Ludwig Otto Hesse."
Questa definizione non ci deve spaventare perché utilizzare tale tipologia di matrice non è difficile come sembra dalla definizione precedente, infatti è uno dei metodi più usati per calcolare i punti di massimi, minimi relativi e di sella di una funzione in due variabili (che presenta quindi due incognite) in un piano. Per imparare ad utilizzare il metodo "hessiano" con destrezza, basta seguire questi semplici passi.

Data una funzione iniziale in questa forma: z=f (x; y) inizia con il fare le derivate parziali rispetto ad x e rispetto ad y, entrambe ovviamente di primo grado. Ricorda che per derivare parzialmente rispetto ad una funzione che presenta ambo le incognite bisogna considerare l'incognita da non derivare come se fosse una costante e ripetere lo stesso procedimento quando si deriva parzialmente la seconda incognita.

In seguito porre entrambe le derivate parziali uguali a zero e metterle a sistema, facendo comparire la "y" al primo membro e tutto il resto al secondo. Risolvere il semplice sistema di due incognite in due equazioni con i metodi conosciuti (sostituzione o comparazione sono quelli più semplici da utilizzare). In questo modo troveremo le coordinate dei punti "critici".

A questo punto, ricorda che il primo valore delle coordinate si riferisce alla x, il secondo alla y. Fare le derivate seconde dei temini xx; xy; yx; yy ed inserirle in una matrice, sostituendo una per volta al posto di x ed y le coordinate dei punti critici trovati in precedenza. Ora abbiamo il passaggio più delicato, prestate attenzione!!! Moltiplicare i termini "xx" e "yy" e i termini "xy" e "yx", in seguito sottrarre il primo risultato al secondo. Possiamo ottenere più risultati:-se il risultato sarà positivo e la derivata di "xx" è positiva allora la funzione presenterà un minimo relativo;-se il risultato sarà positivo e il termine "xx" è negativo la funzione presenterà un massimo relativo;-se, invece, il risultato sarà negativo e il termine "xx" è negativo la funzione presenterà un punto di sella.
Spero che questo articolo amatoriale possa aiutare tutte le persone che si trovano in difficoltà con la matematica che sembra un mostro, ma che in realtà si compone di tanti semplici passi logici!

• Massimi e minimi in due variabili - YouMath
• Punto di sella - Wikipedia
• Massimi e minimi di funzioni a due variabili
• Funzioni in due variabili - Massimi e minimi | La MatePratica
• Laplaciano, Hessiano, teorema di Schwarz - la matrice Hessiana

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