come calcolare l'integrazione di funzioni razionali fratte

tramite: O2O
Difficoltà: facile
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Introduzione

Una funzione razionale fratta rappresenta una funzione matematica di questo tipo: f (x)= p (x)/ q (x), in cui p (x) e q (x) stanno ad indicare due polinomi. Esistono varie metodologie per arrivare alla risoluzione di questi integrali. I primi aspetti che devono essere tenuti in considerazione ed analizzati sono il grado sia del numeratore, che in questo caso vien esaminato da p (x), e del denominatore, indicato come q (x). In questa semplice ed esauriente guida vi spiegheremo le varie metodologie per calcolare l'integrazione delle funzioni razionali fratte.

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Occorrente

  • foglio
  • penna
  • libro di esercizi
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Con il simbolo § viene indicato l'integrale. Nella funzione § N (x) / D (x) dx, il numeratore è indicato con N (x) ed il denominatore con D (x). Sia N (x) che D (x) rappresentano dei polinomi. Nel nostro calcolo supporremo che il grado del numeratore sia minore rispetto a quello del denominatore, dal momento che è sempre possibile effettuare la divisione del polinomio N (x) per il polinomio D (x), ottenendo un quoziente Q (x) ed un resto R (x) di grado minore rispetto a quello di D (x). Pertanto, si avrà: N (x)/ D (x) = Q (x) + R (x)/ D (x). Successivamente, deriva tutto questo: § N (x)/ D (x) dx = § [Q (x) + R (x)/ D (x)] dx = § Q (x) dx + R (x) / Q (x) dx. Nell'addizione dei due integrali, il primo si può calcolare, dal momento che consiste nell'integrale di un polinomio. Invece il secondo rappresenta l'integrale di una funzione razionale fratta con un numeratore di grado inferiore al grado del denominatore.

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Ad esempio, se andiamo a calcolare la seguente funzione matematica: § x^3 + 2x ^2 + x + 1 / x ^2 + 1 dx. In questo caso il numeratore presenta un grado maggiore del denominatore. Per prima cosa occorre eseguire la divisione (x^3 + 2x ^2 + x + 1): (x ^2 + 1). Questo rapporto può essere effettuato nel seguente modo: [ x ^3 + 2x ^2 + x + 1/ x ^2 + 1 dx = x + 2(-1) / x ^2 + 1. Pertanto, si dovrà andare a calcolare l'integrale: § (x + 2 + (-1) / x ^2 + 1) dx = § x dx + 2 § dx - § 1 /x ^2 + 1 dx = x ^2 / 2 + 2x - arctg x + c. Si può, pertanto, dedurre che gli integrali del tipo § R (x) / D (x) dx, presentano R (x) quale polinomio di primo grado, inferiore rispetto a quello di D (x).

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Vediamo, ora, il caso in cui il numeratore è la derivata del denominatore. Precedentemente abbiamo visto che: § f' (x)/ f (x) dx = ln |f (x)| più C, ossia l'integrale indefinito di una funzione fratta in cui il numeratore è la derivata del denominatore è uguale al logaritmo del valore assoluto del denominatore. Ad esempio, andiamo a calcolare la funzione: § 6x-2 / 3x^2 -2x -1 dx. Si può osservare, in questo caso, che: D (3x^2-2x-1)=6x-2, da cui deriva: § 6x -2 / 3x^2-2x-1 dx = ln |3x"-2x-1| più c.

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Dobbiamo tenere sempre in considerazione che il Teorema Fondamentale dell’Algebra stabilisce che un polinomio di grado n ammette esattamente n radici nel campo complesso. Questo tipi di proprietà può essere sfruttata per decomporre il polinomio Q (x) in fattori primi irriducibili. Pertanto, le radici di Q (x) possono essere reali oppure complesse coniugate (a due a due), con molteplicità maggiore o uguale a 1. Per concludere, vedremo un esempio in cui andremo a supporre che il polinomio Q (x) ammetta la seguente decomposizione: Q (x) = k (x − α1) ^m1 (x − α2) ^m2... (x − αk) m^k (x^2 + p1x + q1) ^r1... (x^2 + q x + p x + q). A questo punto non ci resta che augurarvi buono studio e buona esercitazione.

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