Come calcolare l'integrale indefinito di funzioni semplici

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

L'integrale è l'operazione inversa al calcolo di derivata. Geometricamente, il calcolo della derivata di una funzione semplice (in un'unica variabile) fornisce l'area, ovvero la parte di grafico, sottesa dalla funzione stessa in un dato intervallo del dominio. Nel caso del calcolo di un integrale indefinito tuttavia tale calcolo coincide con la ricerca di tutte le primitive della funzione data: ovvero di tutte quelle funzioni che, derivate, sono uguali alla funzione d'origine. Ecco, quindi, una guida utile per capire al meglio come calcolare gli integrali indefiniti.

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Occorrente

  • Conoscenze medie di matematica
  • Foglio
  • Penna
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Esistono diversi tipi di integrale (indefinito, definito, semplice, doppio, triplo...); in questa guida parleremo delle regole per calcolare integrali di funzioni ad una sola variabile x (semplici).
In tal caso l' integrale non rappresenta altro che l'area sottesa dalla funzione (di cui stai calcolando appunto l'integrale) rispetto all'asse delle x (ascisse) per cui esso può risultare utile in una marea di applicazioni.

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Per prima cosa, risulta necessario memorizzare, la tabella con i principali integrali indefiniti. Dopodiché è bene imparare alcune delle regole operative elementare per il calcolo degli integrali indefiniti. Sono solo due: una riguarda le somme di funzioni all'interno dell'integrale e possiamo riassumerla dicendo che se ho l'integrale di una somma di funzioni posso fare l'integrale di ogni singolo termine [es: int.ind. (2x+3x^2+4x^4) dx si può risolvere dividendo l'integrale in: int. Ind. (2x) dx + int. Ind. (3x^2) dx + int. Ind. (4x^4) dx a questo punto la risoluzione più rivelarsi più agevole]. L'altra riguarda le costanti, e possiamo semplificarla dicendo che se è possibile portare fuori dall'integrale le costanti moltiplicative [es: int. Ind. (3 * 2x) dx si può anche scrivere: 3 * int. Ind. (2x) dx].

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Per seconda cosa, risulta necessario capire se l'integrale è immediato, cioè se è compreso nella tabella degli integrali o è riconducibile ad essi. Si tratta degli integrali più semplici, a questa categoria appartengono anche gli integrali che alcuni chiamano "integrali per scomposizione".

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Ovvero: per poter rientrare nelle formule elementari della tabella occorre alle volte aggiungere o togliere qualcosa. Es: int. Ind. (x/(x-1)) dx per ricadere in una delle forme elementari degli integrali indefiniti posso aggiungere e togliere 1 al numeratore ed abbiamo: int. Ind. ((x-1+1)/(x-1)) dx che è uguale a: int. Ind. ((x-1)/(x-1)) dx + int. Ind (1/(x-1)) dx semplificando la prima otteniamo: int. Ind. (1) dx + int. Ind. (1/(x-1)) a questo punto la risoluzione è semplice in quanto abbiamo una somma di integrali immediati.

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Se l'integrale non è immediato devi capire se si puo' risolvere mediante sostituzione: in genere è risolvibile per sostituzione se l'argomento dell'integrale contiene contemporaneamente una unzione e la sua derivata, se l'integrale non è per sostituzione dovrai provare l'integrazione per parti: questo metodo deriva direttamente dalla formula per la derivata di un prodotto (quindi è bene ripassarla). Per risolvere gli integrali indefiniti con questo metodo è bene studiare bene la sua formula. Facciamo subito un esempio: int. Ind. (x * logx) dx abbiamo un prodotto: l'integrale di x è semplice così come la derivata del logx quindi possiamo facilmente applicare la formula e scriviamo: logx * int. Ind. (x) dx - int. Ind. (1/x) dx * int. Ind. (x) dx ora gli integrali rientrano nella categoria degli integrali elementari pertanto sono di facile risoluzione.

Ecco un link che potrebbe fornire ulteriori informazioni utili ------》http://www.youmath.it/lezioni/analisi-matematica/integrali/597-primitive-e-integrale-indefinito.html (Integrali indefiniti e primitiva di una funzione).

Ecco un altro link simile da leggere solo a titolo informativo ------》http://m.oilproject.org/lezione/primitive-e-integrali-indefiniti-definizione-e-spiegazione-7762.html (Primitive e integrali indefiniti: definizione e spiegazione).

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