Come calcolare l'equazione dell'asse di un segmento

L'asse è una retta perpendicolare al punto medio dei due estremi che individuano il segmento. Determinare l'equazione dell'asse di un segmento in un sistema di coordinate cartesiane è uno degli obiettivi didattici principali nelle scuole superiori circa l'insegnamento della matematica, oltre a rappresentare una operazione necessaria per svolgere altri quesiti di maggiore complessità. Ti spiegherò in maniera semplice e guidata come calcolare l'equazione dell'asse di un segmento di cui sono note le coordinate degli estremi.

Innanzitutto dovrai individuare le coordinate degli estremi del segmento. In generale, queste informazioni ti saranno fornite dal problema ma potrai anche doverle calcolare in altro modo. Indipendentemente dal metodo usato o dal problema, sono i dati che servono per poter calcolare l'equazione.

Per seguire meglio il procedimento, diamo dei valori di fantasia a entrambi gli estremi A e B del segmento. Supponiamo, quindi, che le coordinate del punto A siano (3,6) e quelle del punto B (5,8). La prima cosa che devi calcolare sono le coordinate del punto medio M del segmento.
Ora devi calcolare l'equazione della retta passante per A e B. La formula dell'equazione di una retta è la seguente

y=mx+b


Sostituendo le coordinate di A e B ottieni l'equazione del nostro caso (ricordati di semplificare l'equazione se utile).


Sintetizziamo quanto fatto sinora. A questo punto hai ottenuto le coordinate del punto medio e l'equazione della retta passante per i due estremi del segmento.

L'asse del segmento è la retta perpendicolare alla retta passante per gli estremi del segmento e che passa per il punto medio del segmento stesso. Sappiamo che il punto medio, nel nostro caso, ha coordinate (4,7). L'equazione generica di una retta passante per tali coordinate è dove m è il coefficiente angolare della retta, unica incognita che dobbiamo determinare. Dalla geometria analitica sappiamo che vi è una relazione tra il coefficiente angolare m di una retta r e quello m' di una retta perpendicolare ad r.
L'asse del segmento è perpendicolare all'equazione della retta passante per i due estremi del segmento, che nel nostro caso è, come già visto. Tale retta ha m' uguale ad 1. Pertanto il coefficiente angolare della nostra retta sarà, applicando la (1)

m=-1

Sostituendo nell' equazione generica della retta passante per A e B si ottiene l'equazione dell'asse del segmento. Sviluppando, ottieni la retta dell'asse del segmento.

• Il mio consiglio è quello di ripetere questo calcolo molte volte utilizzando anche valori scelti a piacere, così da poter memorizzare ed automatizzare i passagi necessari.