Come calcolare l'equazione dell'asse di un segmento

tramite: O2O
Difficoltà: facile
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Introduzione

L'asse è una retta perpendicolare al punto medio dei due estremi che individuano il segmento. Determinare l'equazione dell'asse di un segmento in un sistema di coordinate cartesiane è uno degli obiettivi didattici principali nelle scuole superiori circa l'insegnamento della matematica, oltre a rappresentare una operazione necessaria per svolgere altri quesiti di maggiore complessità. Ti spiegherò in maniera semplice e guidata come calcolare l'equazione dell'asse di un segmento di cui sono note le coordinate degli estremi.

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Innanzitutto dovrai individuare le coordinate degli estremi del segmento. In generale, queste informazioni ti saranno fornite dal problema ma potrai anche doverle calcolare in altro modo. Indipendentemente dal metodo usato o dal problema, sono i dati che servono per poter calcolare l'equazione.

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Per seguire meglio il procedimento, diamo dei valori di fantasia a entrambi gli estremi A e B del segmento. Supponiamo, quindi, che le coordinate del punto A siano (3,6) e quelle del punto B (5,8). La prima cosa che devi calcolare sono le coordinate del punto medio M del segmento.
Ora devi calcolare l'equazione della retta passante per A e B. La formula dell'equazione di una retta è la seguente

y=mx+b


Sostituendo le coordinate di A e B ottieni l'equazione del nostro caso (ricordati di semplificare l'equazione se utile).


Sintetizziamo quanto fatto sinora. A questo punto hai ottenuto le coordinate del punto medio e l'equazione della retta passante per i due estremi del segmento.

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L'asse del segmento è la retta perpendicolare alla retta passante per gli estremi del segmento e che passa per il punto medio del segmento stesso. Sappiamo che il punto medio, nel nostro caso, ha coordinate (4,7). L'equazione generica di una retta passante per tali coordinate è dove m è il coefficiente angolare della retta, unica incognita che dobbiamo determinare. Dalla geometria analitica sappiamo che vi è una relazione tra il coefficiente angolare m di una retta r e quello m' di una retta perpendicolare ad r.
L'asse del segmento è perpendicolare all'equazione della retta passante per i due estremi del segmento, che nel nostro caso è, come già visto. Tale retta ha m' uguale ad 1. Pertanto il coefficiente angolare della nostra retta sarà, applicando la (1)

m=-1

Sostituendo nell' equazione generica della retta passante per A e B si ottiene l'equazione dell'asse del segmento. Sviluppando, ottieni la retta dell'asse del segmento.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Il mio consiglio è quello di ripetere questo calcolo molte volte utilizzando anche valori scelti a piacere, così da poter memorizzare ed automatizzare i passagi necessari.

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