Come calcolare le proiezioni di un triangolo rettangolo

La geometria è una materia piuttosto interessante ma complicata che ha bisogno di essere studiata a fondo e amata per essere imparata. Esistono moltissime figure che grazie alla geometria si possono imparare a disegnare, tra queste il triangolo rettangolo, una figura piuttosto conosciuta ed utilizzata.
Si definisce triangolo rettangolo un triangolo che abbia un angolo interno retto, cioè che misura 90 gradi. I due lati che lo formano prendono il nome di cateti mentre il lato restante, che risulta essere quello più lungo, prende il nome di ipotenusa. Se consideriamo l'ipotenusa come base del nostro triangolo rettangolo e tracciamo l'altezza che parte dal vertice in alto e scende perpendicolarmente alla base, notiamo che l'ipotenusa viene divisa in due diversi segmenti. Questi segmenti prendono il nome di proiezioni dei cateti sull'ipotenusa. Avendo a disposizione alcuni dati, vediamo come calcolare le proiezioni di un triangolo rettangolo, attraverso pochi e semplici passaggi. Mettiamoci all'opera.

• Foglio e matita
• Righello
• Calcolatrice

Per prima cosa dobbiamo avere ben presenti le formule relative ai triangoli rettangoli. Possiamo calcolare la loro area con due formule equivalenti: o il semiprodotto tra i due cateti, quindi A = (c1*c2)/2; oppure come semiprodotto di ipotenusa per altezza, quindi A = (i*h)/2. Da queste formule, ricavando ed utilizzando le formule inverse, possiamo ricavare all'occorrenza tutte le grandezze che ci occorrono. Per ricavare uno dei tre lati avendo a disposizione gli altri due possiamo utilizzare il teorema di Pitagora: "il quadrato costruito sull'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati costruiti sui due cateti". Se per esempio c1=3 m e i=5 m, allora c2 =sqrt (i^2 - c1^2) =sqrt (25-9) =sqrt (16) = 4 m.

Utilizzando il teorema di Pitagora abbiamo quindi ricavato la misura di tutti e tre i lati, ipotenusa e cateti. A questo punto calcoliamo l'area del nostro triangolo con la formula precedentemente citata: A =(c1*c2)/2 = (3*4)/2 =12/2 =6 mq. A questo punto, dall'altra formula dell'area ricaviamo la formula inversa per calcolare l'altezza h. H= 2A/i =2*6/5 = 2,4 m. Naturalmente questi passaggi non sono necessari nel caso in cui conosciamo già la misura dei due cateti c1 e c2 e dell'altezza relativa all'ipotenusa h. Per calcolare adesso le proiezioni p1 e p2 dei due cateti sull'ipotenusa dobbiamo fare alcune semplici considerazioni geometriche sul nostro triangolo.

Immaginiamo che l'altezza h divida il triangolo in due altri triangoli più piccoli. Essi saranno ancora triangoli rettangoli poiché, essendo l'altezza perpendicolare all'ipotenusa, forma con esse due angoli di novanta gradi, quindi retti. In questi due rettangoli più piccoli l'ipotenusa corrisponderà a quello che prima era il cateto (per esempio c1), mentre i due cateti saranno rappresentati dall'altezza h e dalla proiezione p1. Per calcolare p1 possiamo quindi adoperare nuovamente il teorema di Pitagora applicato al nuovo triangolo: p1 =sqrt (c1^2 - h^2) =sqrt (9 - 5,76) =sqrt (3,24) =1,8 m. Analogamente possiamo calcolare p2=sqrt (16 - 5,76) = sqrt(10,24) =3,2 m. Questo metodo si riconduce al teorema di Euclide.
Calcolare le proiezioni di un triangolo rettangolo è un'operazione che richiede poco tempo per essere messa in pratica, ma uno studio piuttosto approfondito della materia. Per chi è alle prime armi e sta imparando adesso i segreti della geometria e della trigonometria, seguire le istruzioni di questa gli servirà moltissimo, un valido aiuto per capire meglio ciò che si sta studiando e procedere molto più speditamente. In brevissimo tempo avrete imparato come fare. Non mi resta che augurare buono studio e buon divertimento.
Alla prossima.

• Eseguite i calcoli senza fretta per evitare di sbagliare
• Per i primi esercizi seguite la guida, poi provate a farli autonomamente

• Teorema di Pitagora
• Formule triangolo rettangolo
• Teorema delle proiezioni