Come calcolare le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa

tramite: O2O
Difficoltà: facile
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Introduzione

In un triangolo rettangolo, viene definito specificatamente cateto ciascuno dei due lati a ridosso precisamente all'angolo retto. Invece, il lato che risulta essere situato precisamente all'opposto dell'angolo retto, assume la denominazione di ipotenusa. Se le misure dei lati sono conosciute, allora può essere utilmente applicato il famoso teorema di Pitagora, al fine di calcolare l'esatta misura di un cateto. Inoltre, con il teorema di Pitagora è possibile dimostrare che la misura di uno dei cateti è sicuramente minore di quella relativa all'ipotenusa. Di fondamentale importanza, risulta essere anche il teorema di Euclide. Continuate, quindi, a leggere questa interessante ed utile guida per apprendere in modo piuttosto semplice come calcolare le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa.

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Il primo teorema di Euclide ci dice che In ogni triangolo rettangolo ciascun cateto è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull'ipotenusa (Vedi la figura sottostante).
Prendiamo un triangolo ABC, dove BC è l'ipotenusa, AB è il cateto minore e AC è il cateto maggiore. Secondo il teorema ogni cateto (quindi sia AB che AC) è medio proporzionale tra ipotenusa e proiezione. Quindi tracciamo l'altezza AH ed impostiamo la proporzione:
BC: AB = AB: BH
Quindi per calcolare BH ci basterà fare AB^2 \ BC.

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Il secondo teorema di Euclide invece ci dice che l'altezza è media proporzionale tra le due proiezioni dei cateti.
Quindi impostando la proiezione abbiamo che: BH: AH = AH: HCdove BH e HC sono le proiezioni dei cateti e AH l'altezza del triangolo (vedi la figura riportata).

A seconda del cateto che ci serve, useremo le proporzionalità. Se avessimo un lato e l'altezza e quindi le due proiezioni come incognite, per calcolare la proiezione di quel lato bisognerà applicare Pitagora. La formula di Pitagora è

Radice Quadrata AC^2 - AH^2

Esempio: Abbiamo AB = 5 e AH=4. Calcola HC
Per calcolare BH bisognerà applicare il teorema di Pitagora e ci ritroveremmo con risultato 3 (RadQuadrata di 25-16).
Applicando Euclide troveremo poi HC3:4=4: x.

Continua la lettura
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Se, invece, si conoscono il seno ed il coseno degli angoli, si possono applicare ulteriori teoremi che permettono di calcolare le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa. Primo Teorema: In un triangolo rettangolo, la misura di un cateto è uguale al prodotto della misura dell’ipotenusa per il seno dell’angolo opposto oppure per il coseno dell’angolo adiacente.
Secondo Teorema: In un triangolo rettangolo, la misura di un cateto è uguale a quella dell’altro cateto per la tangente dell’angolo opposto al primo, o per la cotangente dell’angolo adiacente.

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