Come calcolare le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa

Tramite: O2O 04/01/2021
Difficoltà: facile
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Introduzione

La trigonometria è una branca della matematica che, come si può intuire facilmente dal nome, ha come oggetto di interesse principale i triangoli e le relazioni che intercorrono tra i loro lati ed i loro angoli. Si affronta in quasi tutte le scuole ed è estremamente importante poiché da essa derivano una serie di formule che tornano poi utili in altre discipline matematiche, motivo per cui è importante comprenderne a fondo i concetti principali.
Tra tutte la varie tipologie di triangoli, ne esiste una in particolare che gode di importanti proprietà matematiche: il triangolo rettangolo. I suoi lati possiedono anche dei nomi specifici, vista la loro importanza: viene infatti definito cateto ciascuno dei due lati a ridosso dell'angolo retto mentre quello che risulta essere situato precisamente all'opposto assume la denominazione di ipotenusa.
Sappiamo poi che a questa figura geometrica è applicabile il teorema di Pitagora, per trovare un lato nota la misura degli altri due.
Ma come si può calcolare invece la proiezione dei cateti sull'ipotenusa? Si hanno a disposizione sostanzialmente tre vie.
Continuate, quindi, a leggere questa breve ed utile guida per apprendere in modo piuttosto semplice come eseguire questo calcolo.

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Occorrente

  • Libro di matematica
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Utilizzare il primo teorema di Euclide

Il primo metodo prevede l'utilizzo del primo teorema di Euclide. Esso afferma che in ogni triangolo rettangolo ciascun cateto è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull'ipotenusa.
Prendiamo come esempio un triangolo ABC, dove BC è l'ipotenusa, AB è il cateto minore e AC è il cateto maggiore.
Secondo il teorema, ogni cateto (quindi sia AB che AC) è medio proporzionale tra ipotenusa e proiezione. Quindi, supponendo di tracciare l'altezza AH impostiamo la proporzione che in questo caso risulterà: BC: AB = AB: BH.
Per calcolare BH ci basterà fare AB^2 \ BC (basta infatti risolvere il calcolo applicando le proprietà delle proporzioni).

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Utilizzare il secondo teorema di Euclide

Euclide ha però formulato anche un secondo teorema che torna utile con questo scopo: esso afferma che l'altezza di un triangolo rettangolo è media proporzionale tra le due proiezioni dei cateti.
Tenendo come esempio il triangolo ABC citato nel precedente passo e impostando la proiezione, abbiamo che: BH: AH = AH: HC, dove BH e HC sono le proiezioni dei cateti e AH l'altezza del triangolo.
L'applicazione di questo teorema risulta un po' più macchinosa del precedente in quanto meno immediata: spesso entrambe le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa sono delle incognite e non è quindi possibile risolvere subito la proporzione.
Nel caso in cui una delle due proiezioni fosse nota, tuttavia, trova un ottimo campo di applicazione.

Continua la lettura
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Utilizzare il teorema di Pitagora

Infine, l'ultima alternativa si basa sullo sfruttare uno dei teoremi più conosciuti e utilizzati in ambito matematico: Il teorema di Pitagora.
Esso afferma che, in un triangolo rettangolo, il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma del quadrato dei cateti. In questo caso è inoltre opportuno precisare anche una proprietà dell'altezza dei triangoli: essa è perpendicolare all'ipotenusa, dunque divide a sua volta il triangolo in due triangoli rettangoli più piccoli, aventi un cateto rappresentato dalla proiezione dei cateti del triangolo maggiore sull'ipotenusa.
Tornando quindi al triangolo ABC e conoscendo, ad esempio, la misura del cateto AB e la misura dell'altezza AH sarà dunque facile calcolare la proiezione del cateto BH applicando il teorema di Pitagora al triangolo ABH.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Osservare bene i dati a disposizione in modo da capire quale teorema applicare
Alcuni link che potrebbero esserti utili:

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