Come calcolare le derivate parziali miste

Tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

In questa guida ti insegnerò come calcolare le derivate parziali miste. Le derivate parziali miste servono nelle funzioni a due variabili per calcolare, per esempio, massimi, minimi e punti di sella. Può sembrare un concetto incredibilmente complesso ma non c'è niente di più facile! Unico prerequisito è saper calcolare le derivate parziali.

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Verificare la continuità

Prima di partire bisogna verificare dove la funzione in esame è continua (perché se non è continua in un punto non è nemmeno derivabile in quel punto). Per far ciò valutiamo la funzione nei punti del dominio che potrebbero creare problemi di continuità.
Una funzione è continua in un punto P (x0, y0) se e solo se il limite esiste ed è uguale al valore che assume la funzione in quel punto.

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Verificare la derivabilità

Prima di effettuare il calcolo delle derivate è bene verificare le la funzione in esame sia derivabile in tutti i punti appartenenti al dominio. Per farlo valutiamo la funzione nei punti che notoriamente danno problemi di derivabilità.
Generalmente essi sono quelli in cui si annulla il valore assoluto o una radice, oppure quelli "a cavallo" in una funzione definita a tratti.
La funzione sarà ivi derivabile se e solo se esistono i limiti (mi limito a riportare il caso di funzione in due variabili. In tre variabili i limiti sono del tutto analoghi).

lim di x → 0 {[f (x, y0) - f (x0, y0)] / [(x-x0)]}
lim di y → 0 {[f (x0, y) - f (x0, y0)] / [(y-y0)]}
dove x0 e y0 sono le coordinate del punto in questione.

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Calcolare le derivate parziali prime

Dopo aver verificato continuità e derivabilità si passa al calcolo delle derivate parziali prime, sia rispetto a x, sia rispetto a y (eventualmente anche rispetto a z). Ricordati che le derivate parziali sono semplicemente delle derivate in cui tutte le variabili che non si stanno derivando sono trattate come costanti.

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Calcolare le derivate miste

Arriviamo al nocciolo della questione. Per effettuare il calcolo delle derivate parziali miste, bisogna prendere ogni derivata prima calcolata al passo 2 ed effettuare una seconda derivazione rispetto ad un'altra variabile.
Cioè: se ho la derivata parziale rispetto a x (che chiamerò f'(x)), devo derivare nuovamente rispetto a y.
In questo modo otterrò la derivata mista rispetto a x ed y.
Ripeto questo procedimento derivando f'(x) rispetto a z e derivando f'(y) rispetto a z.
Ed ho finito!
Ma come? Non devo calcolare la derivata mista di f'(y) rispetto a x e di f'(z) rispetto ad x?
No! Grazie ad un teorema, ossia il teorema di Schwarz, sappiamo per certo che l'ordine con cui vengono effettuate le derivate parziali in una derivata mista di una funzione a variabili reali è ininfluente.
Non ci credi? Prova ad effettuare il calcolo derivando la funzione prima rispetto a x e poi z e viceversa. Vedrai che otterrai lo stesso risultato. Questo teorema è utilissimo perché ci permette di risparmiare una grande mole di calcoli.

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