Come calcolare le derivate

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Difficoltà: media
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Introduzione

Il calcolo delle derivate è un potente strumento dell'analisi matematica applicato allo studio delle funzioni. Partiamo dalle basi. Assegnata una funzione f (x) a coefficienti reali e con variabile x reale, la derivata della funzione viene indicata mediante il simbolo f'(x). Esistono diverse regole di derivazione e derivate notevoli che risultano di grande utilità per la semplificazione dei calcoli. Nella seguente guida vediamo come calcolare le derivate.

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Calcolo delle derivate fondamentali

Innanzitutto è importante sapere che la derivata di un numero costante è uguale a 0. La derivata della variabile moltiplicata per un esponente (x elevato a n), invece, è uguale ad n*x^(n-1). Per far ciò è necessario solamente moltiplicare la variabile per l'esponente e diminuire quest'ultimo di un grado. Se ci troviamo di fronte a un numero esponenziale del tipo e^x la derivata coincide proprio con e^x. Per quanto riguarda invece le funzioni trigonometriche la derivata di sen (x) è uguale a cos (x), mentre la derivata di cos (x) è uguale a -sen (x). La tabella delle derivate fondamentali è presente in quasi tutti i libri di testo di matematica. Qui ci limitiamo a riassumere le più importanti.

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Principali regole di derivazione

Ora che abbiamo imparato le derivate fondamentali vediamo il loro ruolo nell'applicazione delle regole di derivazione. Analizziamo le principali. Date f (x) e g (x), due funzioni nella variabile x, e definito il prodotto f*g, si ha che la derivata del prodotto è uguale a f'(x)*g (x) + f (x)*g'(x). Il risultato è quindi uguale al prodotto della prima funzione derivata per la seconda non derivata sommata alla prima non derivata per la seconda derivata. Leggermente diversa la formula in caso di divisione di funzioni. In questo caso i due prodotti si sottraggono anziché sommarsi, dopodiché si divide il tutto per g (x) al quadrato.

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Calcolo delle derivate di funzioni composte

Con funzioni composte del tipo fg (x) è necessario prima svolgere la derivata della funzione esterna. Fatto ciò la si moltiplica per la derivata della funzione interna. Facciamo un esempio pratico: la derivata di sen (3x) sarà uguale a cos (3x)*3. Concludiamo ricordando che nel caso di tre o più funzioni composte sarà sufficiente ripetere la regola già applicata in precedenza.
Una volta imparate a memoria le regole principali vi renderete conto che il meccanismo di risoluzione delle derivate è molto semplice. L'unico modo per raggiungere il vostro obiettivo è fare pratica, associata a buona volontà. Non vi resta che cimentarvi nel calcolo delle derivate.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Durante le prime esercitazioni utilizzate le tabelle di derivazione, dopodiché, una volta fatta un po' di pratica, cercate di svolgere gli esercizi senza di esse
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