Come calcolare le coordinate polari di un punto

Tramite: O2O 04/05/2018
Difficoltà: difficile
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Introduzione

La matematica non è sempre facile, anzi, delle volte rischia di far impazzire chi si attinge a risolvere un problema. Tra le branche più complicate si ha la geometria analitica che tratta anche i punti nei piani cartesiani, argomenti base specialmente in materie universitarie quali analisi e geometria, materie "incubo" di molti studenti che si approcciano agli studi scientifici o ingegneristici. Dato un sistema di coordinate cartesiane OXY nel piano cartesiano, è possibile calcolare un punto, situato sul piano ma anche su una mappa o su un grafico, avvalendosi delle cosiddette coordinate polari. Un sistema di coordinate polari non è altro che un sistema di coordinate bidimensionale, nel quale qualsiasi punto del piano è dato da un angolo e da una distanza da un punto fisso definito "polo". Per quanto riguarda l'aspetto pratico, l'utilità di questo sistema salto subito a l'occhio nel momento in cui le relazioni tra due punti si esprimono più facilmente in termini di angoli e di distanza. In questa maniera si individua un punto, stabilendo la distanza esistente dall'origine degli assi e l'angolo della distanza OP e l'asse X. Tra l'altro, se si conosce la posizione precisa di un punto tramite le coordinate cartesiane (x, y), è possibile arrivare a trovare le coordinate polari (r, ?), avvalendosi della misura dei cateti definiti x e y del triangolo formatosi sul piano. Come avete modo di intuire, in questa semplice ma dettagliata guida vi spiegheremo come calcolare le coordinate polari di un singolo punto. Suggeriamo di seguire la guida attentamente, passo dopo passo per non inciampare in eventuali errori che potrebbero portare al calcolare erroneamente le coordinate polari. Non resta che augurare buona lettura!

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Sistema di coordinate polari

Se nel riferimento cartesiano rimane invariata l'origine degli assi, che in coordinate polari acquista la denominazione di "polo", in questo caso è necessario considerare alcune specifiche formule per eseguire il passaggio ad un sistema di coordinate polari. Nel riferimento polare, pertanto, la linea retta si trova nella forma d = r moltiplicato per il seno (b - a), in cui "b" è beta, ossia l'angolo che costituisce la retta con l'asse x, mentre "a" è alfa, ossia quell'angolo che forma il vettore OP con l'asse x. "P" rappresenta, invece un punto appartenente alla retta, e "d" è praticamente la distanza della retta dall'origine, mentre "r" è il modulo del vettore OP. L'importanza delle lettere qui precedentemente elencate è elevata ed aiuta chiunque ad orientarsi sul piano cartesiano.

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Trigonometria per il calcolo delle coordinate

Per trovare le coordinate polari è necessario avvalersi della disciplina della matematica che prende il nome di trigonometria, sfruttando le sue regole fondamentali. Andando un po' più nel dettaglio, xP si calcola come prodotto dell'ipotenusa OP del triangolo disegnato per il coseno dell'angolo adiacente, quindi x = r moltiplicato per il coseno (alfa). Invece, yP si calcola come prodotto dell'ipotenusa OP del triangolo per il seno dell'angolo opposto. Pertanto, avremo y = r moltiplicato per il seno (alfa). Specifichiamo, tra l'altro, che "r" si riferisce al raggio espresso in coordinate polari, ed è una variabile che può avere valori maggiori o uguali a 0: è importante che sia espresso in coordinate polari o si rischia di calcolare erroneamente la posizione del punto e quindi ottenere un risultato non coerente con le attese.

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Sistema di coordinate polari traslato

Nel caso di un sistema di coordinate polari traslato, in cui l'origine degli assi cartesiani è in un punto C determinato dalle coordinate xC e yC, è sufficiente comporre le formule per il passaggio alle coordinate polari con una traslazione. Quindi, dovremo effettuare i seguenti calcoli: x = XC + r per coseno, e y = yC + r moltiplicato per il seno. Così facendo si avranno le coordinate polari del punto oggetto del quesito. Basta fare le operazioni inversamente per vedere se si riescono ad ottenere gli stessi risultati dati inizialmente dal quesito (come dati) per verificare che il risultato ottenuto sia coerente con quanto richiesto.

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Proprietà

Un sistema di coordinate polari presenta delle proprietà specifiche. Per prima cosa, le rette che passano per il polo presentano un equazione della forma theta = costante. Una circonferenza che possiede il centro nel polo, presenta equazione della forma r = raggio. Per r, ovviamente, si intende il raggio della circonferenza. Tra l'altro, tutti quanti i punti dell'asse polare presentano anomalia nulla, mentre il polo ha raggio nullo ed anomalia indeterminata. Adesso che la guida è terminata è possibile mettersi all'opera e calcolare le coordinate polari di un punto nel piano cartesiano, aiutandosi con degli esempi e degli esercizi già svolti che è possibile trovare anche qui. Non resta che augurare buon lavoro e buona fortuna nel caso di eventuali compiti in classe o esami.

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