Come calcolare le coordinate di un punto

In geometria solida, lo spazio è costituito da un insieme di punti espressi da triplette di coordinate. Nella geometria del piano invece le coordinate dei punti sono espresse da coppie di valori. Molto spesso capita di dover affrontare il calcolo delle coordinate di un punto a partire da un sistema di equazioni che descrivono curve. È opportuno aver conoscenze di trigonometria per poter affrontare il calcolo delle coordinate di un punto. Vediamo alcuni consigli su come calcolare le coordinate di un punto.

• Calcolatrice

Per calcolare le coordinate di un punto a partire da un sistema di equazioni è necessario andare a trovare le soluzioni. Restando nel caso della geometria piana si devono rendere omogenee le equazioni cioè scrivere tutti i termini nella variabile x a destra e quelli nella y a sinistra. È importante fare in modo che il coefficiente che moltiplica la y sia 1 e quindi bisogna opportunamente dividere a destra e sinistra per avere questa condizione. Adesso dobbiamo effettuare una sottrazione membro a membro in modo tale che a sinistra resti 0, mentre a destra resterà un'espressione omogenea nella variabile x che andrà poi risolta. Il risultato determinato dal calcolo di questa espressione sarà la coordinata lungo l'asse x e dovrà essere sostituita in una delle due equazioni originarie per andare a determinare il valore della y. La coppia di valori così determinati costituisce le coordinate del punto.

Sotto condizioni particolari si fa uso delle coordinate polari. In questo caso al posto della x della y si impiegano due valori r e t, rispettivamente raggio vettore e angolo. La conversione fa una coppia (x, y) ed una (r, t) richiede un po' di trigonometria. Per calcolare r si ha r=sqrt (x^2 + y^2), per determinare t si ha t=arctg (y/x). Rispettivamente sqrt indica la radice quadrata, e arctg l'arcotangente. È di conseguenza utile avere ben chiaro il comportamento di queste funzioni.

Se il punto ci viene fornito in coordinate polari ovverosia con una coppia (r, t) e desideriamo riportarlo a coordinate rettangolari dobbiamo fare uso di un po' di trigonometria. Per quel che riguarda il calcolo della coordinata x avremo x=r*cos (t). La coordinata y invece per analogia si determina come y=r*sen (t). In questo caso si parla anche di proiezione del punto lungo gli assi cartesiani. Saper passare senza difficoltà da sistemi cartesiani a polari è molto utile sia nel calcolo integrale che in fisica e non deve essere trascurato.

• Analizzare bene il problema

• Coordinate polari e cartesiane: come convertirle tra loro
• Come calcolare la distanza tra due punti su una curva
• Come risolvere gli integrali doppi con coordinate polari