Come calcolare l'area totale ed il volume di un tetraedro regolare

tramite: O2O
Difficoltà: facile
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Introduzione

Il tetraedro regolare è una figura geometrica solida formata da 4 facce, rappresentate da dei triangoli equilateri con un angolo diedro di 70° 32', avente 6 spigoli e 4 vertici. È anche il solido col minor numero di vertici. Nei passaggi successivi di questa guida ci occuperemo di spiegarvi come bisogna procedere per riuscire a calcolare il valore dell'area della superficie totale e il volume di questo solido, nella maniera più semplice e chiara possibile.

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Valore dello spigolo

Per ottenere sia l'area che il volume di questa figura è sufficiente conoscere quello che è il valore dello spigolo poiché si tratta di una figura solida regolare, quindi caratterizzata dall'avere i lati delle facce tutti uguali. Può anche succedere che in alcuni problemi non si abbia questa misura, ma solamente il valore della sola area o del solo volume. In questi casi bisognerà calcolare, tramite l'utilizzo di formule inverse (che spiegheremo nel dettaglio) prima lo spigolo e solo successivamente gli altri valori che ci interessano tramite l'ausilio delle formule di base.

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Area

Vediamo come procedere per effettuare il calcolo dell'area. Per calcolare questo valore dobbiamo innanzitutto seguire la formula indicata in figura: dove S rappresenta il valore dell'area che vogliamo conoscere, mentre l è la lunghezza dello spigolo, ovvero il lato di ogni triangolo che compone le facce. Facciamo un esempio pratico: supponiamo di avere nel nostro tetraedro uno spigolo di 10 cm. Otterremo quindi il seguente risultato: S = 100 x 1,73 = 173 cm quadrati.

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Volume

Vediamo ora come bisogna procedere per effettuare il calcolo del volume. Il valore del volume è dato dalla formula che vedete nella figura. Considerando come nell'esempio precedente uno spigolo di 10 cm, il valore del volume sarà il seguente: V = 100 x 1,41 / 12 = 11,75 cm cubi.

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Esempi

Consideriamo adesso il caso in cui non abbiamo il valore dello spigolo, ma soltanto quello dell'area e vogliamo conoscere il volume. Innanzitutto dobbiamo calcolare lo spigolo secondo la formula A) e, subito dopo, il volume tramite l'altra formula precedentemente vista. Se invece abbiamo solamente la misura del volume, per poter ottenere l'area calcoliamo lo spigolo attraverso la formula B) e quindi l'area come già abbiamo visto. Facciamo ora degli esempi pratici: abbiamo un'area di 200 cm quadrati. Secondo la formula A) in figura calcoliamo: 3 x 200 x 1,73 = 1.038, la cui radice quadrata è 32,21. Dividendo per 3 avremo 10.73 cm, vale a dire il valore dello spigolo del tetraedro che potremo quindi usare per effettuare il calcolo del volume. Avendo, invece, un volume di 150 cm cubi, seguendo la formula B) otteniamo: 6 x 150 x 1,41 = 1.269, la cui radice cubica è 10,82 che è il valore dello spigolo che ci servirà per andare a calcolare l'area.

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