Come calcolare l'area sottostante un arco parabolico

Il periodo delle scuole medie superiori è forse quello migliore, perché vengono instaurate amicizie con le quali si può uscire anche nel tempo libero. Durante gli anni scolastici presso un liceo o istituto tecnico, bisogna affrontare materie di vario genere. Tra quelle considerate da molti alunni piuttosto difficili rientra sicuramente la matematica. Un ramo di quest'ultima è la geometria analitica, ovvero una materia scolastica che provoca sempre tante difficoltà agli studenti. Qui vengono trattate numerose figure geometriche (come il rettangolo, il trapezio o il cerchio) e le formule per il calcolo di varie misure (quali l'area o il perimetro). Nel presente tutorial di geometria analitica vediamo brevemente come calcolare l'area sottostante un arco parabolico. Questo caso non si risolve più facilmente tramite delle semplice formule matematiche, bisogna infatti ragionarci con la massima attenzione. In realtà, basterà avere molto chiare le poche regole necessarie alla risoluzione della maggioranza dei quesiti. Un arco parabolico rappresenta un tipo di curva simile ad una normale catena mantenuta da ambo le estremità e lasciata in pendenza. Buona lettura!

• Conoscenze di geometria analitica

Innanzitutto, è necessario aver piuttosto chiaro il significato di area sottostante ad un qualsiasi arco parabolico. A tal proposito, bisogna considerare una parabola di equazione generica y = ax^2 + bx + c. Le lettere a, b e c rappresentano semplicemente dei valori numerici. Successivamente occorre prendere la retta r di equazione y = mx + q e che interseca la parabola nei due punti A e B. L'arco parabolico viene definito come quella porzione di piano sottostante la parabola e delimitata dal segmento AB della retta r. Se quest'ultima risulta perpendicolare all'asse delle ordinate e parallela all'asse delle ascisse, si avrà un arco parabolico retto. Qualora invece la retta r sia obliqua, si parlerà di arco parabolico obliquo.

Supponiamo adesso il caso di un arco parabolico retto, ossia formato dall'intersezione di una parabola con una retta parallela all'asse delle ascisse. In questa situazione, bisogna semplicemente applicare il principio di Archimede. Tale enunciato sostiene che l'area dell'arco parabolico risulta uguale a 2/3 del rettangolo ABDE. Le lettere A e B indicano i due punti di intersezione fra la parabola e la retta r. Le lettere D ed E rappresentano invece i punti di intersezione tra la parallela alla retta r tangente alla parabola nel vertice e le perpendicolari alle due rette passanti per A e B.

Il procedimento che occorre seguire è quello di trovare inizialmente le coordinate dei quattro punti (A, B, D, E), i quali costituiscono i vertici del rettangolo. Successivamente è necessario calcolare l’area di tale figura geometrica ed estrarre i suoi 2/3. Dopodiché bisogna segnare le rette perpendicolari all'asse X nei punti A e B. Infine, si dovrà tracciare una retta perpendicolare alle due appena segnate e tangente alla curva. L'area sottostante all'arco parabolico si determinerà applicando la formula "A = 2/3 * ar", dove ar indica l'area del rettangolo ABDE.

Ipotizzando adesso di avere un arco parabolico obliquo, il ragionamento diventa maggiormente complesso. L'area sottostante viene infatti ricavata facendo la differenza fra l’area del trapezio A’B’BA e la somma delle aree dei due triangoli mistilinei S1 e S2. Anche in questa situazione, l'azione iniziale da compiere è trovare le coordinate A e B di intersezione tra la retta r e la parabola. Le rispettive proiezioni sull'asse delle ascisse possono indicarsi con A’ e B’. In questa maniera, si hanno da calcolare i vari elementi. L'area del trapezio A’B’BA viene determinato applicando la formula A = 1/2 * (AA’ + BB’) * A’B’. L'area del primo triangolo mistilineo S1 è invece uguale a 1/3 (OB' * BB'). L'area del secondo triangolo mistilineo S2 risulta quindi pari a 1/3 (OA' e AA'). Proseguendo nei calcoli, si giunge alla formula generica valida per qualunque parabola di equazione y= ax^2 + bx + c. Essa dice che l'area dell'arco parabolico obliquo si trova in questo modo: 1/6 * a (ascissa di B – ascissa di A)^3.

• Ricordarsi che il simbolo ^ significa elevato.
• Prima di iniziare, ricercare tutti i dati e scrivere le formule delle quali si ha necessità.

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