Come calcolare l'area di un triangolo ottusangolo scaleno

Tramite: O2O 17/10/2018
Difficoltà: media
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Introduzione

In questo articolo vedremo come calcolare l'area di un triangolo ottusangolo scaleno. Probabilmente è il tipo di triangolo meno apprezzato dagli studenti, perché ha molte proprietà scomode, come l'ortocentro esterno. Per definizione, questo tipo di triangolo è quel tipo di triangolo che ha un angolo ottuso, cioè ha l'ampiezza superiore ai 90° dell'angolo retto, e tutti i lati di lunghezza diversa. Il principale problema nel calcolare l'area di tale tipo di figura, è riuscire a trovare l'altezza. Il triangolo ottusangolo deve essere trasformato in qualche maniera per ricondurlo ad un caso noto, e le vie sono sostanzialmente due: vederlo come parte di un quadrilatero o un triangolo rettangolo. Scelta una delle due vie si può procedere al calcolo dell'area. Vediamo quindi come calcolare l'area di un triangolo ottusangolo scaleno.

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Occorrente

  • Triangolo scaleno ottusangolo
  • Carta a quadretti
  • Righello
  • Matita
  • Gomma
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Costruzione del triangolo ausiliario

Costruiamo un triangolo scaleno generico, con il lato CB più lungo degli altri, e l'angolo ottuso aperto da CAB. Scegliamo arbitrariamente come base il lato AB. Siamo in una brutta situazione, quindi. Per prima cosa non c'è un'altezza interna di facile lettura, in questo caso, perché calando a perpendicolo dal vertice C si incontra solo un prolungamento del lato AB ma non il lato stesso. Tracciamo comunque questo prolungamento e ricaviamo il punto di intersezione con la proiezione verticale di C, chiamando D questo punto. Il triangolo DAC è rettangolo con ipotenusa AC, angolo retto CDA e angolo CAD supplementare di BAC ossia CAD=180°-BAC. Abbiamo molte più informazioni di prima per il calcolo e soprattutto ci siamo riportati nei lidi ben noti dei triangoli rettangoli.

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Calcolo delle aree

A questo punto il nostro triangolo scaleno fa parte della costruzione di un triangolo rettangolo, insieme all'ausiliario. Dobbiamo andare a misurare i cateti dell'ausiliario, dove CD è a sua volta l'altezza di CBD e di CAB. Il cateto DA sommato alla base dell'ottusangolo AB forma il cateto di CDB. I calcoli a seconda dei dati e del grado di istruzione di fanno usando il righello, il teorema di Pitagora o la trigonometria. Si ricavano comunque due aree in maniera facile: quella di CDA e quella di CBD. L'area di CDA è DA*CD/2 essendo un triangolo rettangolo. La superficie di CBD invece risulta essere CD*DB/2 sempre perché è rettangolo ed il calcolo è immediato. L'area di CAB invece risulta semplicemente pari a quella di CBD a cui deve essere sottratta l'area di CAD.

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Metodo alternativo

Il metodo alternativo prevede di leggere il triangolo CAB come mezzo parallelogramma, con CB come diagonale. Riporto il metodo solo per cronaca, perché è macchinoso e tutto sommato inutile, visto che lavorare con i triangoli è molto più semplice. Si costruisce un parallelogramma CEBA con CE=AB, EB=CA e CEB=CAB. Si ricava l'altezza EH che definisce il triangolo rettangolo EHC, uguale al triangolo rettangolo ipotetico BKA. Si ricava il rettangolo EBKH di cui conosciamo base ed altezza, e si ricava l'area, equivalente a quella di ABCE, che è il doppio di quella del triangolo ABC. Questo metodo è utile solo a livello didattico, perché si impiegano comunque i triangoli e quindi tanto vale concentrarsi si di essi.

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Formula di Erone

Se poi volete divertirvi a fare molti conti, potete usare la formula di Erone che consente il calcolo dell'area di un triangolo in maniera davvero singolare. Erone fu un matematico ed inventore geniale, vissuto in epoca alessandrina, esperto di triangoli e di rudimentali motori a vapore, la cui fama però è rimasta nell'ombra per secoli. A lui si deve per esempio la progettazione di un portone che si apriva da solo come per magia, ed un primitivo motore rotativo, privo però di un'effettiva applicazione, all'epoca. Chiamiamo a,b,c i tre lati e calcoliamo il semiperimetro (a+b+c)/2=p. Si deve prima calcolare il termine t=p*(p-a)*(p-b)*(p-c) che serve come primo passaggio. L'area è A=sqrt(t) ed il calcolo si applica a tutti i triangoli senza eccezioni. Non è una formula molto apprezzata a scuola, perché è un po' fine a se stessa, ma se c'è da fare un calcolo molto veloce, magari implementandolo in un programma per informatica, non è male. Buono per una riprova, in ogni caso.

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