Come calcolare l'area di un triangolo

Lo studio dei triangoli è uno dei punti cardine della geometria piana detta anche euclidea. Le loro proprietà sono state studiate per secoli ed hanno aperto la via a discipline come la trigonometria, all'ingegneria e persino al volo spaziale! Riuscire a padroneggiare tutte le loro proprietà non è difficile ed è bene imparare sin da subito ad utilizzarli. Se si fissa bene in mente tutto quanto riguarda i triangoli, molta parte della geometria diventa infinitamente più semplice di quanto possa apparirci all'inizio. Esistono molte formule per studiare le caratteristiche di queste figure geometriche, e in particolare si definisce area la misura della superficie occupata. Vediamo intanto in questa guida come si procede per calcolare l'area di un triangolo.

• Conoscenze minime di geometria
• tavole numeriche o calcolatrice

Di un triangolo possono essere note le misure dei lati oppure anche parametri impliciti come ad esempio le altezze. Per altezza si intende il segmento che va da un angolo al lato ad esso opposto, formando con esso un angolo di 90°, detto retto. Se possediamo come dato la lunghezza dell'altezza h e del lato su cui insiste b, che è detto base, la formula da applicare è estremamente semplice:

A=b*h/2

dove A rappresenta l'Area.

I triangoli rettangoli sono un caso particolare di queste figure piane. Il loro studio è particolarmente utile dal punto di vista del matematico e possiedono molte proprietà. Se il triangolo è rettangolo significa che ha due lati perpendicolari fra loro. I lati che formano l'angolo di 90° sono detti cateti, mentre il rimanente ipotenusa. Detti rispettivamente c1 e c2 i lati ortogonali, uno risulta essere l'altezza relativa all'altro. La formula si semplifica quindi in:

A=(c1*c2)/2

dove A rappresenta l'Area.

La formula di Erone, ideata da un matematico greco nel I secolo, si applica ai triangoli generici per i quali può essere molto complicato il calcolo delle altezze senza possedere cognizioni di trigonometria. Per poter arrivare all'area, prima è necessario calcolare il perimetro, che si ottiene sommando la misura dei tre lati, e poi il semiperimetro, che è la metà del perimetro. Chiamando P il semiperimetro e a, b, c i tre lati, l'area del dato triangolo sarà uguale alla radice quadrata del prodotto di p e delle differenze tra P e ognuno dei lati. Semplificando:

A= sqrt [p*(p-a)(p-b)(p-c)]

dove A rappresenta l'Area e sqrt l'operazione di estrazione della radice quadrata. La formula è generale e con un po' di sforzo consente anche il calcolo di aree di figure complesse scomponibili in triangoli.

La formula di Erone si applica ad ogni tipo di triangolo e permette un calcolo assai rapido delle altezze che altrimenti obbligherebbero a lunghi calcoli trigonometrici. Questo esempio in realtà è utile principalmente perché spinge a mettere insieme due dati per ricavarne uno, ed introduce ai metodi matematici. Determinata l'area con la formula del matematico greco è sufficiente uguagliarla a quella in cui si nota l'altezza.

sqrt [p*(p-a)(p-b)(p-c)]=b*h/2

risolvendo questa semplice equazione si ricava h, ce è l'altezza relativa al lato b.

Per mostrare con un esempio come applicare la formula di Erone scegliamo di utilizzare un triangolo scaleno di lati a=11, b=25, c=30, poiché la somma di b+c>a, e a+b>c, il triangolo è realizzabile. Calcoliamone perimetro P e successivamente il semiperimetro p

P=11+25+30=66
p=33

A=sqrt[33*(33-11)*(33-25)*(33-30)]=132

h=132*2/25=10,56

dove si è calcolata h che è l'altezza relativa al lato b
.

• Cercate di variar eil più possibile metodo di calcolo per acquisire elasticità

• Formula di Erone

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