Come calcolare la trasformata di Laplace

La vastità della matematica e dei suoi settori comporta difficoltà non indifferenti per tutti quegli studenti che hanno difficoltà nell'approcciarsi con gli infiniti significati dei numeri. In questo senso l'analisi matematica, uno dei settori oggetto di studio sin dalle scuole superiori, rappresenta un ostacolo di prim'ordine. Ecco per quale motivo potrebbe ritornano utili guide in grado di approfondire concetti e argomenti in maniera semplice e chiara. È il caso della trasformata di Laplace, operatore di funzioni lineari in grado di associare una funzione di variabile complessa ad una funzione di variabile reale. Entriamo più nello specifico e vediamo come calcolare la trasformata di Laplace.

• Carta e penna
• Libro di testo di analisi matematica (anche con esercizi svolti)

Si prenda come riferimento una funzione f(t) appartenente all'insieme dei numeri reali (R). La trasformata di Laplace relativa a tale funzione e definita su un insieme continuo (s) è data dalla formula:

F (s) = ∫ f (t) e [elevato a -st] dt

Analizziamo la formula in questione. L'integrale ha come estremi +∞ e -∞. "e" corrisponde al numero di Nepero, mentre "s" corrisponde ad un numero complesso.

La trasformata di Laplace è ottenibile anche dalla trasformata di Fourier. Inoltre, la trasformata di Laplace può essere applicata per funzioni nulle per t<0. Leggermente diverso il discorso relativo al calcolo della trasformata unilatera di Laplace, con l'integrale compreso tra gli estremi +∞ e 0 e la formula principale lasciata invariata, tenendo conto inoltre che tale trasformata viene calcolata in t>0.

La trasformata di Laplace esiste per tutti i numeri reali all'interno dell'insieme Re(s) > a. In questo caso "a" è una costante che dipende dalla funzione originaria, la stessa funzione dal quale si è partiti per il calcolo della trasformata. "a" rappresenta la regione di convergenza di tale funzione. La trasformata di Laplace è particolarmente utile nella risoluzione delle equazioni differenziali a coefficienti costanti, così come è utile nell'analisi dei sistemi dinamici governati da equazioni lineari. Infine, grande utilità della trasformata è quella di convertire le equazioni integrali e le equazioni differenziali in equazioni polinomiali, senza dimenticare l'applicazione pratica nell'ingegneria dei sistemi. Nel caso in cui desideraste altre informazioni sulla trasformata di Laplace consultate il link: http://www.ing.unitn.it/~bertolaz/2-teaching/2005-2006/AA-2005-2006-MMCI/lucidi/laplace-trasformata-1x1.pdf.

• Prima di passare allo svolgimento degli esercizi veri e propri sulla trasformata di Laplace, si consiglia di passare in rassegna tutta la teoria a proposito dell'argomento in questione, per poi procedere con lo studio degli esercizi svolti e, infine, esercitarsi sul piano pratico.

• Guida al calcolo della trasformata di Laplace
• Esercizi svolti sulla trasformata di Laplace
• Formulario sulla trasformata di Laplace
• Trasformata di Laplace: un approfondimento