Come calcolare la tangente e la normale ad una curva

tramite: O2O
Difficoltà: difficile
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Introduzione

Calcolare la tangente e la normale ad una curva richiede specifiche competenze di base.
Prima di introdurre l’argomento, dovete avere chiaro il concetto di curva.
Si definisce curva una traiettoria definita da un oggetto puntiforme. L’oggetto si muove in maniera continua e regolare. La curva si può trovare sia all’interno del piano, sia su un determinato spazio.  Ne dedurrete che è possibile definire la curva come una funzione continua. Quindi:
f: I→ A,
in cui I sta per l’intervallo della retta, mentre A è un punto dello spazio.
Per calcolarne il versore tangente e normale, dovete seguire alcune regole fondamentali.
In questo tutorial, vi indicheremo come fare, illustrandovi il corretto procedimento di calcolo.  Poiché il ragionamento è particolarmente complesso, vi consigliamo di porre estrema attenzione ai passaggi descritti.

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Occorrente

  • Un buon libro di trigonometria
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DEFINIZIONE DI VERSORE.
Nel campo della matematica, un versore non è altro che un vettore direzionale. Si utilizza per segnalare il verso e la direzione della curva.  E’ possibile ricavare il versore da qualsiasi vettore, purché questo non sia nullo. In quel caso, infatti, il suo modulo risulterebbe pari a zero.  Se siete a conoscenza del vettore, potete calcolare facilmente il versore tangente o normale ad una curva. Vi basterà moltiplicare il vettore per l’opposto del suo modulo.
Quindi:
w = v / ║v║.

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VERSORE TANGENTE.
Considerate una curva C su un determinato piano.
Siete a conoscenza dei seguenti dati.
C (n) = (e ^ n, e ^ n + 1)
n Є [0,1].
Dai dati in possesso, sapete che si tratta di una curva regolare. Le sue funzioni, infatti, non tendono ad annullarsi.
C (n) = (e^n, e^n) ≠ 0
Δ n Є [0,1].
Procedete con il calcolo del versore tangente della curva.
C’ (n)/ │C’ (n) │ =
e^n, e^n /√[(e^n)]² +[(e^n)]² =
(e^n, e^n) /√2n^2n.
Non vi resta che semplificare.
(e^n, e^n) /√2n^2n = (1,1)/ √2.
Ed ecco che avete calcolato il versore tangente della curva C.

Continua la lettura
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VERSORE NORMALE.
Esaminate i dati della seguente curva parametrica.
C (n) = (x’(n), y’(n), z’(n)).
Dovete calcolare il suo versore normale. Proseguite, dunque, con l’esecuzione dei calcoli.
║C’(n) ║ = √[x’’(n)]², [y’(n)] ², [z’(n)] ².
A questo punto, non vi resta che normalizzare il tutto, semplificando i termini.
W (n) = C’(n)/ ║C’(n) ║.
Avete appena ottenuto il versore normale della curva.
Vi sarete accorti che il procedimento è particolarmente ostico e necessita di appropriate conoscenze. Vi consigliamo, quindi, di studiare con attenzione le regole trigonometriche di base. Un'applicazione regolare e continua, infatti, vi assicurerà la facile risoluzione degli esercizi.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • State attenti a scrivere adeguatamente ogni singolo passaggio. Inserite simboli e valori con attenzione. Un errore di trascrizione, infatti, andrebbe a compromettere l’esito dell’intero esercizio
Alcuni link che potrebbero esserti utili:

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