Come calcolare la tangente e la normale ad una curva

Tramite: O2O 20/03/2019
Difficoltà: difficile
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Introduzione

La tangente diritta a una curva è quella che coincide con la curva in un punto con la stessa derivata, cioè lo stesso grado di variazione. La conoscenza della retta può risolvere semplici problemi: in primo luogo, è possibile trovare tangenti in qualsiasi funzione che può essere derivata, in qualsiasi punto, come si vede nel primer. In altre parole, se puoi trovarlo in futuro, se puoi usarlo come condizione in problemi più complessi. Calcolare la tangente e la normale ad una curva chiede specifiche competenze di base. Prima di introdurre l?argomento, dovete avere chiaro il concetto di curva. Si definisce curva una traiettoria definita da un oggetto puntiforme. L?oggetto si muove in maniera continua e regolare. La curva si può trovare sia all?interno del piano, sia su un determinato spazio. Ne dedurrete che è possibile definire la curva come una funzione continua. Quindi:
f: I? A,
in cui I sta per l?intervallo della retta, mentre A è un punto dello spazio.
Per calcolarne il versore tangente e normale, dovete seguire alcune regole fondamentali. In questo tutorial, vi indicheremo come fare, illustrandovi il corretto procedimento di calcolo. Poiché il ragionamento è particolarmente complesso, vi consigliamo di porre estrema attenzione ai passaggi descritti. Ecco dunque come calcolare la tangente è la normale ad una curva.

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Occorrente
  • Libro di trigonometria
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Versore di tangente

La linea tangente nel punto di un cerchio è quella linea che interseca la circonferenza in un singolo punto, ma la verità è che tale definizione non è sufficiente per una curva in generale, perché in altri casi la linea tangente può intercettare la curva in uno o più punti, oltre ad essere inclinata, orizzontale o verticale. Troverete sempre tangenti con funzioni polinomiali di ordine superiore ad 1 o funzioni non polinomiali. La tangente a una linea sarebbe la linea stessa. Inoltre, la linea tangente può avere interessanti applicazioni geometriche. Un versore non è altro che un vettore direzionale. Si utilizza per segnalare il verso e la direzione della curva. E? possibile ricavare il versore da qualsiasi vettore, purché questo non sia nullo. In quel caso, infatti, il suo modulo risulterebbe pari a zero. Se siete a conoscenza del vettore, potete calcolare facilmente il versore tangente o normale ad una curva. Vi basterà moltiplicare il vettore per l?opposto del suo modulo.
Quindi:
w = v / ?v?.

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Versore di curva

Una tangente a una curva è una linea che tocca la curva in un singolo punto e ha la stessa pendenza della curva in quel punto. Una normale a una curva è una linea che è perpendicolare alla tangente della curva. La tangente e la normale nello stesso punto su qualsiasi superficie sono sempre perpendicolari l'una all'altra. Considerate una curva C su un determinato piano.
Siete a conoscenza dei seguenti dati.
C (n) = (e ^ n, e ^ n + 1)
n ? [0,1].
Dai dati in possesso, sapete che si tratta di una curva regolare. Le sue funzioni, infatti, non tendono ad annullarsi.
C (n) = (e^n, e^n) ? 0
? n ? [0,1].
Procedete con il calcolo del versore tangente della curva.
C? (n)/ ?C? (n) ? =
e^n, e^n /?[(e^n)]² +[(e^n)]² =
(e^n, e^n) /?2n^2n.
Non vi resta che semplificare.
(e^n, e^n) /?2n^2n = (1,1)/ ?2.
Ed ecco che avete calcolato il versore tangente della curva C.

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56

Versore normale

Se una linea viene tracciata perpendicolarmente alla linea tangente, viene ottenuto il versore normale. Eaminate i dati della seguente curva parametrica.
C (n) = (x?(n), y?(n), z?(n)).
Dovete calcolare il suo versore normale. Proseguite, dunque, con l?esecuzione dei calcoli.
?C?(n) ? = ?[x??(n)]², [y?(n)] ², [z?(n)] ².
A questo punto, non vi resta che normalizzare il tutto, semplificando i termini.
W (n) = C?(n)/ ?C?(n) ?.
Avete appena ottenuto il versore normale della curva.
Vi sarete accorti che il procedimento è particolarmente ostico e necessita di appropriate conoscenze. Vi consigliamo, quindi, di studiare con attenzione le regole trigonometriche di base. Un'applicazione regolare e continua, infatti, vi assicurerà la facile risoluzione degli esercizi.

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Consigli
Non dimenticare mai:
  • State attenti a scrivere adeguatamente ogni singolo passaggio. Inserite simboli e valori con attenzione. Un errore di trascrizione, infatti, andrebbe a compromettere l’esito dell’intero esercizio
Alcuni link che potrebbero esserti utili:
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