Come calcolare la somma di una serie numerica

Di: A. A.
Tramite: O2O 18/08/2017
Difficoltà:difficile
15

Introduzione

Il concetto di serie numerica generalizza, in matematica, l'idea intuitiva di "somma di infiniti addendi".
In questa guida vedremo la definizione di serie, che formalizza in maniera rigorosa le idee precedenti, alcuni criteri che permettono di stabilire se una data serie converga o meno e, nel caso di una serie convergente, i possibili metodi come calcolare la sua somma. Sarà indispensabile aver già assimilato i concetti di successione di numeri reali e di limite di una successione.

25

Prime nozioni

Data una successione di numeri reali a_n (per n maggiore o uguale a 0) si dice serie associata, indicata con s_n la successione delle somme parziali, ossia:

s_n=a_0+a_1+...+a_n,

per ogni n maggiore o uguale a 0. L'elemento a_n si dice termine generale n-esimo della serie. Nel caso in cui la successione s_n converga ad un numeri reale S (ossia il limite di s_n per n che tende a infinito sia uguale ad S), si dice che la serie converge ed ha per somma S. Se il limite di s_n per n che tende a infinito è uguale a +infinito o a -infinito, diciamo che la serie diverge, mentre se tale limite non esiste diciamo che la serie è indeterminata.

ESEMPIO: riprendiamo la successione 1, 1/2, 1/4, 1/8 (in cui il denominatore si dimezza ogni volta): risulta

s_n=1+1/2+1/4+...+1/(2^n)=2-1/(2^n)

che tende a 2 per n che tende a infinito. Quindi, come volevamo, la serie (infinita) 1+1/2+1/4+1/8+... Converge ed ha per somma 2, ed abbiamo dato un significato matematico ben preciso a questa affermazione. In ogni caso il modo più elementare per calcolare la somma di una serie è quello che abbiamo appena visto: scrivere la sua somma parziale n-esima s_n=a_0+a_1+...+a_n e cercare di calcolare il limite di a_n per n che tende a infinito.

35

Teorema

D'altra parte, esistono anche serie divergenti o indeterminate. Ad esempio, si verifica facilmente che la serie di termine generale a_n=1, ossia 1+1+1+... Diverge a +infitito (infatti s_n=n per ogni n), mentre la serie di termine generale (-1)^n=1-1+1-1+... È indeterminata in quanto s_n=1 per n dispari, s_n=0 per n pari e la successione s_n=1,0,1,0,... Non ammette limite.

Esistono però dei teoremi molto utili che permettono in molti casi di stabilire se una data serie converga o meno. Questi teoremi prendono il nome di criteri di convergenza, che riportiamo senza dimostrazione. Cominciamo con il:

TEOREMA: se la serie di termine generale a_n converge, allora a_n è infinitesima, ossia tende a 0 per n che tende a infinito.

Continua la lettura
45

Criterio di convergenza assoluta

In molti casi risulta utile il seguente:

CRITERIO DI CONVERGENZA ASSOLUTA: Sia a_n una successione di numeri reali. Se la serie di termine generale |a_n| converge, allora anche la serie di termine generale a_n converge, e la sua somma è, in valore assoluto, minore o uguale alla somma di |a_0|+|a_1|+|a_2|+...

Potrebbe interessarti anche

Naviga con la tastiera

Segnala contenuti non appropriati

Tipo di contenuto
Devi scegliere almeno una delle opzioni
Descrivi il problema
Devi inserire una descrizione del problema
Si è verificato un errore nel sistema. Riprova più tardi.
Verifica la tua identità
Devi verificare la tua identità
chiudi
Grazie per averci aiutato a migliorare la qualità dei nostri contenuti

Guide simili

Superiori

Come calcolare la somma dei primi N numeri naturali

Per molti la matematica è una materia incomprensibile e piena di relazioni formule calcoli senza senso, ma imparando a conoscerla, si scopre che contiene moltissime idee brillanti. Esistono formule matematiche calcoli ricorsivi che permettono di semplificare...
Superiori

Come calcolare l'amperaggio di un circuito in serie

In un circuito in serie, ogni dispositivo è collegato in modo tale che vi sia un solo percorso attraverso cui la carica può attraversare il circuito esterno. Ogni carica che passa attraverso l'anello del circuito esterno passa attraverso ciascun resistore...
Superiori

Come si calcola la somma degli angoli interni di un esagono regolare

È risaputo che la matematica e la geometrica sono importanti e costituiscono le basi per capire meglio il ragionamento logico. Entrambe sono composte da regole fisse che è necessario rispettare, affinché si possano risolvere dei problemi; non tutti sanno...
Superiori

Come disegnare il grafico della somma di funzioni

Quello che vogliamo spiegare in questo articolo è come calcolare e disegnare la somma di due funzioni, sia dal punto di vista grafico, che da quello algebrico.Tenendo presente che una qualsiasi funzione stabilisce un legame tra la variabile dipendente...
Superiori

Come scrivere una serie di Fourier

La maggior parte dei fenomeni fisici presentano una struttura così articolata, da non poter essere descritti con funzioni dotate di espressione elementare. Le suddette relazioni sono, in generale, molto complicate nella forma e presentano strani andamenti...
Superiori

Come dimostrare che la somma degli angoli interni di un triangolo è 180°

Se l'indirizzo di studio che avete intrapreso è scientifico, può capitarvi di dover dimostrare che la somma degli angoli interni di un triangolo è 180°. In questo caso, se prendete in esame un triangolo immaginario, considerate uno dei suoi lati e tracciate...
Superiori

Come eseguire la somma tra vettori

Uno dei primi argomenti che si affrontano nell'ambito della fisica è lo studio dei vettori. Il vettore e gli argomenti ad esso correlati costituiscono una parte importante, se non di fondamentale importanza, nell'ambito fisico in particolare e in quello...
Superiori

Come sviluppare una funzione in serie di Laurent

Per studiare una vasta gamma di fenomeni naturali spesso si ricorre all'uso dei numeri complessi. Essi sono uno strumento molto efficiente per descrivere situazioni fisiche particolari. Un esempio è dato dai moti oscillatori, descrivibili tramite armoniche...