Come calcolare la somma di una serie numerica

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Difficoltà: difficile
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Introduzione

Il concetto di serie numerica generalizza, in matematica, l'idea intuitiva di "somma di infiniti addendi".
In questa guida vedremo la definizione di serie, che formalizza in maniera rigorosa le idee precedenti, alcuni criteri che permettono di stabilire se una data serie converga o meno e, nel caso di una serie convergente, i possibili metodi come calcolare la sua somma. Sarà indispensabile aver già assimilato i concetti di successione di numeri reali e di limite di una successione.

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Prime nozioni

Data una successione di numeri reali a_n (per n maggiore o uguale a 0) si dice serie associata, indicata con s_n la successione delle somme parziali, ossia:

s_n=a_0+a_1+...+a_n,

per ogni n maggiore o uguale a 0. L'elemento a_n si dice termine generale n-esimo della serie. Nel caso in cui la successione s_n converga ad un numeri reale S (ossia il limite di s_n per n che tende a infinito sia uguale ad S), si dice che la serie converge ed ha per somma S. Se il limite di s_n per n che tende a infinito è uguale a +infinito o a -infinito, diciamo che la serie diverge, mentre se tale limite non esiste diciamo che la serie è indeterminata.

ESEMPIO: riprendiamo la successione 1, 1/2, 1/4, 1/8 (in cui il denominatore si dimezza ogni volta): risulta

s_n=1+1/2+1/4+...+1/(2^n)=2-1/(2^n)

che tende a 2 per n che tende a infinito. Quindi, come volevamo, la serie (infinita) 1+1/2+1/4+1/8+... Converge ed ha per somma 2, ed abbiamo dato un significato matematico ben preciso a questa affermazione. In ogni caso il modo più elementare per calcolare la somma di una serie è quello che abbiamo appena visto: scrivere la sua somma parziale n-esima s_n=a_0+a_1+...+a_n e cercare di calcolare il limite di a_n per n che tende a infinito.

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Teorema

D'altra parte, esistono anche serie divergenti o indeterminate. Ad esempio, si verifica facilmente che la serie di termine generale a_n=1, ossia 1+1+1+... Diverge a +infitito (infatti s_n=n per ogni n), mentre la serie di termine generale (-1)^n=1-1+1-1+... È indeterminata in quanto s_n=1 per n dispari, s_n=0 per n pari e la successione s_n=1,0,1,0,... Non ammette limite.

Esistono però dei teoremi molto utili che permettono in molti casi di stabilire se una data serie converga o meno. Questi teoremi prendono il nome di criteri di convergenza, che riportiamo senza dimostrazione. Cominciamo con il:

TEOREMA: se la serie di termine generale a_n converge, allora a_n è infinitesima, ossia tende a 0 per n che tende a infinito.

Continua la lettura
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Criterio di convergenza assoluta

In molti casi risulta utile il seguente:

CRITERIO DI CONVERGENZA ASSOLUTA: Sia a_n una successione di numeri reali. Se la serie di termine generale |a_n| converge, allora anche la serie di termine generale a_n converge, e la sua somma è, in valore assoluto, minore o uguale alla somma di |a_0|+|a_1|+|a_2|+...

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