Come calcolare la somma dei primi N numeri naturali

Per molti la matematica è una materia incomprensibile e piena di relazioni formule calcoli senza senso, ma imparando a conoscerla, si scopre che contiene moltissime idee brillanti. Esistono formule matematiche calcoli ricorsivi che permettono di semplificare operazioni lunghe e faticose. Sorprendentemente molte di queste formule sono state scoperte per caso, ma sono passate alla storia per la la loro genialità assoluta. Fra queste troviamo la famosissima formula per che consente di calcolare la somma dei primi N numeri naturali, attribuita ad un giovanissimo Gauss. Vediamo quindi come applicarla.

• Conoscenze algebriche di base
• Calcolatrice (opzionale)

Il metodo classico è ovviamente quello di prendere tutti i numeri naturali compresi fra 1 e N e cominciare, matita alla mano, a fare i conti. Purtroppo per noi, se N supera qualche unità, il calcolo è noiosissimo e davvero lungo, e non conviene farlo a mano. Dovremmo costruire un programma ricorsivo in C++ e lasciare che sia la macchina a fare i conti. Se N è grande, fra l'avvio del programma e la restituzione del risultato potrebbero passare anche centinaia di anni, se per esempio N avesse miliardi e miliardi di cifre. Non male. Per fortuna un giovanissimo Gauss ebbe un'intuizione a scuola e scrisse una formuletta che permette di fare il calcolo con una somma, un prodotto ed una divisione, niente di più.

Dopo aver rinunciato al metodo bruto perché palesemente sconveniente e stabilito il numero n, bisogna passare al calcolo della somma voluta. Quest'ultima è quella dei primi numeri n naturali che verrà calcolata semplicemente applicando la seguente e semplice formula: S (n) = n per (n più 1) / 2, dove S (n) indica la somma voluta. Questa formula matematica, all'apparenza elementare e banale, ci consente di compiere operazioni elevate altrimentLa formula è valida solo se i numeri sono tutti naturali positivi. Ovviamente il calcolo con tutti numeri negativi si fa con la stessa formula e moltiplicando per -1i impossibili senza il calcolatore a causa del tempo eccessivo che richiederebbero. La formula è valida solo se i numeri sono tutti naturali positivi. Ovviamente il calcolo con tutti numeri negativi si fa con la stessa formula e moltiplicando per "-1". Se per ambiti scolastici è solo un piccolo esercizio, per calcoli professionali di statistica, la formula ha aperto a strade inesplorate. Dalla formula di Gauss sono state poi estrapolate anche strategie per calcoli molto complessi.

Un semplice esempio potrà rendere ulteriormente a te lettore le idee molto più chiare: comincia ad immaginare di dover sommare i primi 1000 numeri naturali primi; se tu decidessi di procedere secondo il modo normale e semplice bisognerebbe armarsi di pazienza e sommare uno più due più tre e cosi via fino al raggiungimento del numero 1000 utilizzando la formula sopra analizzata [ S (n) = n per (n più 1) / 2, dove S (n) ] avrai: S (1000) = 1000 per (1001) / 2 = 500500. Dopo tutta la spiegazione avvenuta nella guida appena terminata, sembrerà al lettore di turno più facile eseguire questa operazione; riuscendo a capire facilmente quale tecnica applicare nel caso vi doveste ritrovare ad affrontarla di nuovo. Nonostante risulti comunque abbastanza elementare il procedimento si consiglia di non prendere sotto gamba il tutto e di affrontarlo con molta attenzione e precisione; in quanto si tratta sempre di un calcolo matematico! Spero di esservi stato di aiuto e di aver reso il vostro lavoro meno oneroso e più semplice.

• Cercate sempre formule semplificative per i calcoli, ma non serve impararle a memoria, si deve solo sapere che esistono

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