Come calcolare la somma degli angoli interni di un poligono

La geometria piana è una delle materie scientifiche più divertenti ma spesso più ostiche per gli studenti. Molto spesso i ragazzi delle scuole medie o delle superiori vanno infatti nel panico quando si ritrovano a doverne studiare i teoremi o le formule per la risoluzione dei problemi ad essa relativi. Trattandosi di una materia scientifica, è facilmente comprensibile come ciascuna sua parte sia frutto di studi logici e rigorosi. La comprensione dei vari aspetti della geometria risulta essere di grande importanza anche per quelli che possono essere i piccoli problemi quotidiani. Lo studio e la sua comprensione fa sì, inoltre, che il nostro cervello si abitui e venga allenato alla risoluzione di svariate tipologie di problematiche. In questa guida ci soffermeremo su un aspetto della geometria piana, vedremo infatti come calcolare la somma degli angoli interni di un poligono.

I poligoni fanno parte di quell'ambito della geometria che prende il nome di geometria piana. Un poligono è invece una porzione di piano racchiusa da una poligonale chiusa e non intrecciata. Da questo deriva, quindi, che un poligono in geometria è una figura piana e regolare, che presenta lo stesso numero di angoli e di lati. In un poligono è possibile calcolare sia l'area che il perimetro. Il metodo per calcolare la somma degli angoli interni di un poligono si basa sul numero dei lati che un poligono possiede. Ricordiamoci che un poligono, per essere definito tale, deve avere almeno tre lati, ed ogni lato deve essere una linea retta. Per avvalersi dell definizione di poligono, quindi, una figura geometrica deve essere formata da linee rette, chiuse, che si incontrano in angoli di diversa ampiezza, senza incrociarsi tra loro né sovrapporsi in nessun punto.

Per procedere con l'individuazione di quanto cercato, si deve a questo punto applicare la formula base, la quale dice che la somma degli angoli interni di un poligono qualsiasi è uguale al prodotto tra il numero dei lati meno due, moltiplicato per l'angolo piatto, ovvero:
somma = 180°(N-2)
dove N è il numero dei lati e 180° l'ampiezza di un angolo piatto.
Per verificare velocemente la correttezza della formula, possiamo applicarla ad un qualsiasi triangolo, per il quale sappiamo che la somma degli angoli interni è sempre 180°.
In questo caso otterremo la seguente risoluzione:
somma = 180°(3-2) dove 3 è il numero dei lati del triangolo.
È evidente vedere che 180° moltiplicato per 1 da come risultato 180°, che è il valore che ci aspettavamo di trovare.
Nel caso di un quadrato, che ha 4 angoli retti da 90°, la stessa formula applicata, ci darà invece come risultato 180°(4-2) = 360° che è esattamente lo stesso valore risultante dalla moltiplicazione di 90°x 4 angoli. Applicando la stessa formula anche ad un esagono, potremo andare a calcolare l'ampiezza dei sua angoli sempre nello stesso modo: 180°(6-2) = 1440° e lo stesso procedimento può essere utilizzato per un'infinito numero di poligoni, basta conoscerne il numero di lati. Per conoscere invece l'ampiezza di ciascun angolo di un poligono, bisognerà fare la differenza rispetto agli angoli conosciuti, poiché non è possibile farlo solo applicando la formula inversa.

Per permettere la semplice dimostrazione della formula applicata ad un poligono qualsiasi, è sufficiente considerare un qualunque punto al suo interno, che chiameremo punto Z (considereremo un punto intuitivamente centrale, per facilitare la comprensione grafica); congiungendo Z ad ognuno dei vertici del poligono, otterremo una serie di triangoli interni, ognuno avente Z come vertice. Nell'esempio riportato, abbiamo formato sei triangoli, ovviamente perché stiamo considerando una figura irregolare a sei lati. Come già detto sopra, sappiamo per legge che la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre 180 gradi, cioè un angolo piatto. Avendo ottenuto quindi sei triangoli, sappiamo che la somma degli angoli di tutti i triangoli interni alla figura che abbiamo tracciato, è proprio di sei angoli piatti, cioè 180 x 6 = 1080 gradi.
Considerando il punto Z come un angolo giro, la spiegazione è chiara. Un angolo giro misura 360 gradi (cioè due angoli piatti), e se escludiamo questa quantità dal calcolo effettuato in precedenza, ciò che ci rimane sarà la somma degli angoli interni al poligono. Se la somma degli angoli interni dei triangolini tracciati (che equivale agli angoli interni della figura di partenza, sommati all'angolo giro descritto dal punto Z) è di 1080 gradi, ci basta sottrarre il valore dell'angolo giro per risolvere il problema. Quindi la soluzione è 1080 - 360 = 720 gradi, vale a dire 4 angoli piatti.

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