Come calcolare la probabilità di intersezione

Tramite: O2O 14/12/2019
Difficoltà: media
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Introduzione

Secondo qualcuno le prime difficoltà in matematica si incontrano quando cominciano ad apparire le prime lettere e si completano quando alla fine le lettere sostituiscono completamente i numeri. Purtroppo per i meno appassionati, la probabilità è un argomento che fa un largo uso di lettere per spiegare la parte teorica che c'è dietro i concetti matematici, che poi devono essere applicati dal punto di vista pratico. Inoltre la probabilità è uno di quegli argomenti messi in secondo piano o trattati molto velocemente e per questo motivo gli studenti sono sempre incerti su quei passaggi che invece dovrebbero saper usare senza difficoltà nella vita di tutti i giorni. Purtroppo, con l'andare avanti degli studi, la probabilità e la statistica assumono un ruolo sempre più determinanti, anche per via dello sviluppo della data science. In questa guida vediamo come calcolare la probabilità di intersezione.

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Concetti preliminari

Innanzitutto per definire la probabilità di un'intersezione ho necessità di definire altri concetti. Cerchiamo di guardare il tutto da un punto di vista più pratico e supponiamo di voler calcolare la probabilità che si verifichino due eventi definiti tra loro compatibili. Essenzialmente dobbiamo cercare di rispondere ad una domanda: "un evento influisce sull'altro?". La risposta a questa domanda è metà del lavoro, perché in base a questa due eventi verranno definiti dipendenti o indipendenti. Attenzione, molto spesso nei libri non è specificato se due eventi siano o meno compatibili ma viene dato per scontato. Bene, questo non deve lasciarvi perplessi perché effettivamente due eventi incompatibili non potrebbero neppure essere messi in relazione fra loro.

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La probabilità condizionata

Quindi, dati due eventi E1 ed E2, essi sono definiti dipendenti quando il verificarsi di uno influisce sul verificarsi dell'altro, mentre due eventi E1 ed E2 sono definiti indipendenti quando il verificarsi di uno non influisce sul verificarsi dell'altro. Questo si formalizza con la così detta probabilità condizionata, ossia P(E1|E2)*P(E2)=P(E2|E1)*P(E2). Dove il simbolo "|" indica il condizionamento di un evento sull'altro. Due eventi possono però essere indipendenti ma correlati e quando si affronta la statistica in modo più approfondito, bisogna prestare molta attenzione a questo aspetto.

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Intersezione fra eventi indipendenti

Calcoliamo ora la probabilità di intersezione tra due eventi indipendenti, E1 eE2. Tale probabilità è data dal prodotto delle probabilità di ciascun evento. Quindi la probabilità di inserzione di due eventi indipendenti fra loro è uguale a P(E1)*P(E2). Questo vuol dire che essendo fra loro indipendenti e non influenzandosi, i due eventi, in base alla teoria degli insiemi, si devono intersecare, ma non avere elementi comuni.

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Intersezione fra eventi non indipendenti

Facciamo un ulteriore passo e calcoliamo ora la probabilità di intersezione tra due eventi non indipendenti. Come già accennato, la formula prevede di conoscere il modo in cui i due eventi si influenzano. Quindi in questo caso la probabilità di inserzione è data dalla probabilità che si verifichi un evento per la probabilità condizionata dell'altro. Applicando la formula P(E1|E2)*P(E2)=P(E2|E1)*P(E2), con un po' di semplici passaggi algebrici si ricava P(E1^E2)=P(E1|E2)*P(E2). Abbiamo usato il simbolo ^ per indicare l'intersezione. In letteraturasi trovano parecchie simbologie, in base al campo di applicazione del calcolo, che sia più rivolto alla teoria degli insiemi oppure all'impiego in algebra.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Attenzione alla differenza fra eventi indipendenti e incorrelati
Alcuni link che potrebbero esserti utili:

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