Come calcolare la potenza di un binomio con il triangolo di Tartaglia

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Particolarmente utilizzato nell’ambito del calcolo combinatorio e definito come una disposizione geometrica di coefficienti binomiali, il Triangolo di Tartaglia detto anche Triangolo di Pascal in matematica, permette di calcolare una qualunque potenza di un binomio attraverso una disposizione geometrica di coefficienti binomiali. La paternità di questo metodo di calcolo trova le radici nella vita di Niccolò FONTANA soprannominato Tartaglia per via di un difetto di pronuncia per una ferita al viso durante il saccheggio nel 1512 a Brescia. Il matematico Niccolò lo utilizzo per trovare i coefficienti di un binomio elevato a potenza, Pascal, filosofo e matematico francese, lo utilizzò per calcolare tutti gli abbinamenti possibili tra gruppi predefiniti di numeri.

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Occorrente

  • Conoscenze algebriche di base
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Individuate il binomio che volete elevare a potenza, riducetelo a forma canonica, ovvero alla forma (a + b) e decidete a quale potenza elevarlo. Il metodo è valido per qualunque potenza ma naturalmente viene usato per potenze superiori a 3 in virtù del fatto che per i quadrati e i cubi esistono già apposite formule. Costruite il triangolo partendo dal numero 1 dato dalla sommatoria di (a+b) elevato alla 0, continuate nella costruzione del triangolo considerando che ogni numero è dato dalla somma dei due numeri superiori.

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Un esempio di calcolo per approfondire lo studio del triangolo di Tartaglia viene mostrato attraverso la risoluzione di questo binomio: prendete il binomio (a+b) elevato alla quarta potenza. Lo sviluppo del binomio troverà i suoi coefficienti del polinomio risultante nella 5 linea del Triangolo ossia 1, 4, 6, 4, 1, scriveremo dunque:
(a+b)^4 = a^4 + 4*a^3*b + 6*a^2*b^2 + 4*a*b^3 + b^4.
Si deduce con questa costruzione matematica che nella N-esima riga sono evidenziati i coefficienti della potenza n-esima del rispettivo binomio con N=n+1

Continua la lettura
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Molto interessanti sono le configurazioni del Triangolo di Tartaglia e gli sviluppi matematici figurativi che si possono ottenere utilizzando un Computer. Prendete un triangolo sufficientemente ampio e sostituite i numeri dispari con dei puntini rossi e i numeri pari con dei puntini bianchi. La figura che otterrete avrà una struttura tipica dei frattali. Le varie combinazioni permettono di verificare anche situazioni di calcolo intuitivo, ad esempio è possibile determinare quante strette di mano si possono scambiare 2 persone 4 o 10 semplicemente andando nella riga corrispondente al numero di persone e scorrere la diagonale, sinistra o destra non fa differenza, e troverete il risultato, tra 2 persone sono possibili 1 stretta di mano, tra 4 persone sono possibili 6 strette e infine tra dieci 45. Le intuizioni, le sostituzioni dei numeri, i calcoli possono cambiare di volta in volta generando stimolanti e significative scoperte, a voi la prossima intuizione.

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