Come calcolare la potenza di un binomio con il triangolo di Tartaglia

Tramite: O2O 18/03/2018
Difficoltà: media
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Introduzione

L'algebra ha bisogno di molti metodi per la riduzione del carico di calcolo, soprattutto per i problemi complessi. Particolarmente utilizzato nell?ambito del calcolo combinatorio e definito come una disposizione geometrica di coefficienti binomiali, il Triangolo di Tartaglia detto anche Triangolo di Pascal. In algebra, permette di calcolare una qualunque potenza di un binomio attraverso una disposizione geometrica di numeri che sono detti coefficienti binomiali. La paternità di questo metodo di calcolo trova le radici nella vita di Niccolò FONTANA soprannominato Tartaglia per via di un difetto di pronuncia per una ferita al viso ricevuta durante il saccheggio di Brescia nel 1512. Il matematico utilizzò il triangolo per trovare i coefficienti di un binomio elevato a potenza, mentre Pascal, filosofo e matematico francese ed uno dei padri del calcolo moderno, lo utilizzò per calcolare tutti gli abbinamenti possibili tra gruppi predefiniti di numeri.

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Occorrente

  • Conoscenze algebriche di base
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Impiego del triangolo

Le potenze di polinomi sono estremamente diffuse in matematica, perché si impiegano per ridurre la complessità di problemi di difficile soluzione e per approssimare molti comportamenti fisici. Per calcolare queste potenze si usa un processo semplice. Individuate il binomio che volete elevare a potenza, riducetelo a forma canonica, ovvero alla forma "a + b" e decidete a quale potenza elevarlo. Il metodo è valido per qualunque potenza con esponente intero, ma naturalmente viene usato per potenze superiori a 3 in virtù del fatto che per i quadrati e i cubi esistono già apposite formule, che sono semplici da ricordare. Costruite il triangolo partendo dal numero 1 dato dalla sommatoria di (a+b) elevato alla 0, continuate nella costruzione del triangolo considerando che ogni numero è dato dalla somma dei due numeri superiori. Quando poi si va a scrivere il polinomio associato si devono calcolare le varie potenze in gioco per poterlo utilizzare.

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Esempio

Un esempio di calcolo per approfondire lo studio del triangolo di Tartaglia viene mostrato attraverso la risoluzione di questo binomio: prendete il binomio (a+b) elevato alla quarta potenza. Lo sviluppo del binomio troverà i suoi coefficienti del polinomio risultante nella 5 linea del Triangolo ossia 1, 4, 6, 4, 1, scriveremo dunque:
(a+b)^4 = a^4 + 4*a^3*b + 6*a^2*b^2 + 4*a*b^3 + b^4.
Si deduce con questa costruzione matematica che nella N-esima riga sono evidenziati i coefficienti della potenza n-esima del rispettivo binomio con N=n+1. Da notare inoltre che il triangolo ha i coefficienti speculari per righe, quindi non c'è bisogno di calcolarli tutti quanti.

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Implicazioni

Molto interessanti sono le configurazioni del Triangolo di Tartaglia e gli sviluppi matematici figurativi che si possono ottenere utilizzando un Computer. Si può ad esempio prendere un triangolo sufficientemente ampio e sostituite i numeri dispari con dei puntini rossi e i numeri pari con dei puntini bianchi. La figura che otterrete avrà una struttura tipica dei frattali. Le varie combinazioni permettono di verificare anche situazioni di calcolo intuitivo, ad esempio è possibile determinare quante strette di mano si possono scambiare 2 persone 4 o 10 semplicemente andando nella riga corrispondente al numero di persone e scorrere la diagonale, sinistra o destra non fa differenza per via della simmetria, e troverete il risultato, tra 2 persone sono possibili 1 stretta di mano, tra 4 persone sono possibili 6 strette e infine tra dieci 45. Il triangolo è strettamente legato poi al calcolo dei coefficienti binomiali che si usano in statistica. In informatica si utilizzano principi simili a quello del triangolo di Tartaglia per la riduzione del carico computazionale nei programmi, in particolare in quelli basati sui nodi, come quelli di elaborazione grafica e di rendering. Le intuizioni, le sostituzioni dei numeri, i calcoli possono cambiare di volta in volta generando stimolanti e significative scoperte, a voi la prossima intuizione.

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