Come calcolare la notazione esponenziale

Tramite: O2O 15/10/2018
Difficoltà: difficile
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Introduzione

I numeri sono infiniti, e questo è un problema per la loro scrittura. Considerate per esempio un numero di 131 cifre, tutte uguali a zero, tranne la prima, mettiamo per esempio che sia un 5. Scriverlo è un bell'esercizio di pazienza, usarlo ancora peggio. Consideriamo adesso la somma del numero sopra ipotizzato e di un banale 1: il risultato è veramente ridicolo, dal punto di vista del valore. Esiste per fortuna un sistema in grado, spesso lasciando il calcolo non risolto, per gestire numeri grandi e piccoli insiemi. Si tratta della notazione esponenziale, che peraltro è un sistema universale per la scrittura dei numeri. Con la notazione esponenziale si possono scrivere i numeri usando quattro termini: segno, mantissa, esponente e base. Bisogna fare una premessa che chiarisce però il motivo di fondo dell'uso di questa notazione, quello pratico. Nei campi i cui si usano numeri con moltissime cifre, spesso il numero in se ha un'importanza relativa, perché è frutto di una misura o di una stima che capisce bene solo l'ordine di grandezza e non i valore preciso: nelle misure ci sono errori. Vediamo quindi come calcolare la notazione esponenziale.

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Occorrente

  • Carta
  • penna
  • Libro di matematica
  • Calcolatore scientifico
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Concetto di potenza

Per capire il funzionamento della notazione esponenziale è necessario conoscere il concetto stesso di potenza. Considerate quindi un numero reale "b" detto base e un numero "n", anch'esso appartenente ai numeri reali, detto esponente. Si definisce potenza quel numero b elevato all'esponente n, ossia b^n. Eseguire il calcolo è semplicissimo, perché vi basterà moltiplicare la base b per se stessa, in numero uguale al valore dell'esponente n. Per esempio 2 elevato 3, ossia 2^3, diventa 2*2*2, cioè 8. L'elevamento a potenza deriva dall'operazione di moltiplicazione, nella fattispecie fra termini tutti uguali, e soprattutto aggiungendo un concetto che si potrebbe descrivere in maniera impropria e figurata come moltiplicazione parziale. IN parole povere la notazione 2^3,5 ha senso, e si legge "due alla tre virgola cinque". Questa notazione può lasciare sconcertati, ma significa semplicemente che stiamo elevando a potenza una radice, in questo caso specifico, essendo 3,5=7/2 stiamo elevando alla settima la radice quadrata di due. Se l'elevazione a potenza è frazionaria, infatti il denominatore indica la radice n-ma della base dove n è il numero a denominatore. Operazione importantissima da non sottovalutare è la somma algebrica tra gli esponenti. Ad esempio, la moltiplicazione di due numeri reali con base uguale, elevati con esponenti n ed m, possono essere semplificati scrivendo la stessa base con esponente pari alla somma degli esponenti n ed m. Per semplicità calcolate (2^3)*(2^3). Il risultato è il seguente 2^(3+3), ossia 2^6, cioè 2*2*2*2*2*2=64.

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Notazione esponenziale

Se il concetto di potenza è chiaro, o meglio ancora già conosciuto, allora è possibile procedere con la notazione esponenziale. In fisica è facile incontrare numeri di questo tipo: 12000000000, oppure 0,0000000035. È chiaro che scriverli in questa maniera comporta diversi problemi. Innanzitutto non risulta immediato riconoscere la cifra significativa, in secondo luogo è facile commettere errori nel caso in cui sia necessario calcolare diversi valori scritti, come in precedenza. La notazione esponenziale permette quindi una semplificazione delle espressioni matematiche, nonché un rapido calcolo nel caso di operazioni tra esse. In notazione esponenziale, una volta conteggiati gli zeri, sia che si trovino prima che dopo la virgola, li si esplicita in esponente. Attenzione, la notazione esponenziale è comoda anche per un altro motivo: se il numero è molto grande e presenta anche molti zeri dopo la virgola, noi possiamo scomporlo in una somma fra la pare intera e decimale e lavorare separatamente. Esempio: 30000,00001=30000+0,00001 e notarli esponenzialmente.

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Scrittura esponenziale

Un numero si dice scritto nella notazione esponenziale quando si presenta nella forma a*10^n, dove a è un numero reale positivo o negativo, che rappresenta la cifra significativa ed è un numero decimale, 10 è la base della potenza, n è l'esponente che può essere a sua volta sia positivo che negativo. Per capire ancora meglio questo argomento, è senza dubbio consigliato approfondirlo con testi matematici adatti ed esercitandosi molto. Abbiamo messo 10 come base perché noi contiamo in base 10, tuttavia per vari motivi, sia culturali che pratici, la base può essere qualsiasi. Per esempio in informatica si usa la base 2 o la base 16 (numeri esadecimali) quindi quando vi trovate di fronte ad un hard disk da un terabit non state guardando un numero di 10^12 bit, ma uno di (2^10)^4 bit, che è una cifra del tutto diversa. Qua la base è implicita per consuetudine, quindi se usate notazioni esponenziali, informatevi sulla convenzione che state usando per non incappare in errori anche molto pericolosi.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Per capire il funzionamento della notazione esponenziale è necessario conoscere il concetto stesso di potenza.
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