Come calcolare la norma di una matrice

tramite: O2O
Difficoltà: facile
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Introduzione

Il concetto di norma, nella maggior parte dei casi, si associa ai vettori, ed associa ad ognuno di essi, fatta eccezione per quelli nulli, una lunghezza positiva; ma bisogna sapere che esso si estende anche alle matrici, cioè alle tabelle ordinate di numeri. Vedremo come si estende e come calcolarlo in questa guida.

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definizione

Una norma sullo spazio vettoriale K elevato a (mxn) delle matrici a elementi in K è una funzione definita in K elevato a (mxn) e a valori in R positivo tale che per ogni coppia di matrici A e B e per ogni scalare a si verifica:


1) ||A||=0 se e solo se A=0 (matrice nulla)
2) ||aA||=|a| ||A||
3) ||A+B||<=||A||+||B||
La 3) è detta "disuguaglianza triangolare"

Da notare la stretta analogia con le proprietà della norma per i vettori che fa capire che lo spazio delle matrici è isomorfo a quello dei vettori.
Inoltre, se le matrici sono quadrate (m=n) si ha un ulteriore proprietà detta di sub-moltiplicatività:

||AB||=||A|| ||B||.

Lo spazio delle matrici quadrate che gode di questa proprietà è detto "spazio di Banach".

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calcolo della norma

Dato che la norma è una generica funzione che gode delle proprietà precedentemente descritte, è chiaro che non esiste un metodo univoco per calcolarla. Bisogna attenersi alla funzione con cui si ha a che fare e, una volta verificato che gode delle proprietà della norma, eseguire le operazioni richieste.

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esempi

Come già detto possono esistere infinite funzioni che godono delle proprietà della norma, a titolo di esempio ne farò vedere una tra le più semplici, ossia la "norma 1". Per calcolare la norma 1 di una matrice bisogna calcolare la somma dei valori assoluti degli elementi di ogni colonna; il massimo tra questi risultati sarà il valore della nostra norma. Per chi non lo ricordasse, il valore assoluto di un numero è lo stesso numero privato del segno, o, se si preferisce, lo stesso numero preso con segno positivo. Detto questo vediamo qualche esempio: Esempio 1: consideriamo la seguente matrice quadrata 2x2:
(1 -1) (5 0) (considera le due scritture tra parentesi una sotto l'altra)
la somma dei valori assoluti degli elementi della prima colonna è uguale a 6, mentre per la seconda colonna il risultato sarà ovviamente 1. La nostra norma sarà il massimo, ossia il valore più grande tra i due e quindi 6. Vediamo adesso un esempio di norma 1 su una matrice 3x3: il calcolo è leggermente più complesso ma, come vedremo, non mostra alcuna difficoltà: Esempio 2: consideriamo la seguente matrice:
(-7 3 0) (0 -1 2) (0 0 4) (considera come prima le due scritture tra parentesi una sotto l'altra)
Considerando la prima colonna la somma dei valori assoluti dei suoi elementi è chiaramente 7. Per quanto riguarda la seconda il risultato è 4. Infine, la terza colonna produce come risultato 6. Essendo 7 il più grande tra i numeri ottenuti, la norma 1 della nostra matrice vale appunto 7.

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