Come calcolare la norma di una matrice

Il concetto di norma, nella maggior parte dei casi, si associa ai vettori, ed associa ad ognuno di essi, fatta eccezione per quelli nulli, una lunghezza positiva; ma bisogna sapere che esso si estende anche alle matrici, cioè alle tabelle ordinate di numeri. Vedremo come si estende e come calcolarlo in questa guida.

Una norma sullo spazio vettoriale K elevato a (mxn) delle matrici a elementi in K è una funzione definita in K elevato a (mxn) e a valori in R positivo tale che per ogni coppia di matrici A e B e per ogni scalare a si verifica:


1) ||A||=0 se e solo se A=0 (matrice nulla)
2) ||aA||=|a| ||A||
3) ||A+B||<=||A||+||B||
La 3) è detta "disuguaglianza triangolare"

Da notare la stretta analogia con le proprietà della norma per i vettori che fa capire che lo spazio delle matrici è isomorfo a quello dei vettori.
Inoltre, se le matrici sono quadrate (m=n) si ha un ulteriore proprietà detta di sub-moltiplicatività:

||AB||=||A|| ||B||.

Lo spazio delle matrici quadrate che gode di questa proprietà è detto "spazio di Banach".

Dato che la norma è una generica funzione che gode delle proprietà precedentemente descritte, è chiaro che non esiste un metodo univoco per calcolarla. Bisogna attenersi alla funzione con cui si ha a che fare e, una volta verificato che gode delle proprietà della norma, eseguire le operazioni richieste.

Come già detto possono esistere infinite funzioni che godono delle proprietà della norma, a titolo di esempio ne farò vedere una tra le più semplici, ossia la "norma 1". Per calcolare la norma 1 di una matrice bisogna calcolare la somma dei valori assoluti degli elementi di ogni colonna; il massimo tra questi risultati sarà il valore della nostra norma. Per chi non lo ricordasse, il valore assoluto di un numero è lo stesso numero privato del segno, o, se si preferisce, lo stesso numero preso con segno positivo. Detto questo vediamo qualche esempio: Esempio 1: consideriamo la seguente matrice quadrata 2x2:
(1 -1) (5 0) (considera le due scritture tra parentesi una sotto l'altra)
la somma dei valori assoluti degli elementi della prima colonna è uguale a 6, mentre per la seconda colonna il risultato sarà ovviamente 1. La nostra norma sarà il massimo, ossia il valore più grande tra i due e quindi 6. Vediamo adesso un esempio di norma 1 su una matrice 3x3: il calcolo è leggermente più complesso ma, come vedremo, non mostra alcuna difficoltà: Esempio 2: consideriamo la seguente matrice:
(-7 3 0) (0 -1 2) (0 0 4) (considera come prima le due scritture tra parentesi una sotto l'altra)
Considerando la prima colonna la somma dei valori assoluti dei suoi elementi è chiaramente 7. Per quanto riguarda la seconda il risultato è 4. Infine, la terza colonna produce come risultato 6. Essendo 7 il più grande tra i numeri ottenuti, la norma 1 della nostra matrice vale appunto 7.