Come calcolare la mediana di un triangolo rettangolo

Tramite: O2O 22/08/2018
Difficoltà: media
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Introduzione

I triangoli sono statti studiati approfonditamente per millenni dai matematici, che hanno definito alcune loro proprietà interessanti,come per esempio le altezze, le bisettrici, l'asse e le mediane, e si tratta quasi sempre di relazioni che intercorrono fra lati ed angoli. Oggi ci interesseremo della mediana, che è il segmento che congiunge un vertice al punto medio del lato opposto. Dato che in un triangolo abbiamo tre lati, vi sono ovviamente tre mediane: una per ogni lato. Quando tracciamo una data mediana, il triangolo viene suddiviso in due nuove figure aventi la stessa superficie. Le mediane di un triangolo si incontrano in un punto comune chiamato baricentro o centro di massa. Quanto detto sopra possiamo applicarlo ad un qualsiasi triangolo, sia esso isoscele, equilatero, scaleno o rettangolo. In questa guida vi verrà mostrato come calcolare la mediana di un triangolo rettangolo da cui poi si possono desumere anche metodi per gli altri triangoli.

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Occorrente

  • Penna
  • Foglio di carta a quedretti
  • Calcolatrice
  • Righello
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Triangoli rettangoli

I lati dei triangoli rettangoli, differentemente dagli altri hanno nomi specifici e si chiamano cateti e ipotenusa, rispettivamente quelli che formano l'angolo retto e il lato che li congiunge. Nei triangoli rettangoli, le mediane si leggono molto facilmente, perché in base alla definizione, ci sarà sempre una suddivisione in un triangolo rettangolo di cui è facile il calcolo immediato della superficie e un altro triangolo quando si determinano le mediane relative ai cateti, un po' meno immediato è il calcolo per la mediana dell'ipotenusa, ma vedremo che questa ha proprietà davvero interessanti. Se si è pratici di trigonometria, le caratteristiche dei due nuovi triangoli si calcolano con il teorema di Carnot e un po' di esercizio sulle aree. Con questo teorema ed un po' di trigonometria di base si possono dimensionare direttamente i due triangoli risultanti.

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Mediane dei cateti

Se vogliamo rappresentare graficamente la mediana relativa al cateto minore basterà trovare il punto medio del cateto in questione, ossia quello che lo divide a metà e tracciare una retta che passa da questo punto e dal vertice opposto a questo lato.In base alla definizione il triangolo è stato suddiviso in due triangoli di ugual area. La stessa cosa si esegue per trovare la mediana relativa al cateto maggiore. Siano A, B e C i vertici di un triangolo rettangolo. Sia M il punto medio del lato relativo al calcolo della mediana. Vale la formula seguente: AB^2 + BC^2 = 2(BM^2 + AM^2). Tale formula è conosciuta con il nome di teorema della mediana. Per il calcolo della lunghezza della mediana relativa al cateto minore abbiamo m = 1/2 sqrt [2(AC^2 + AB^2) - BC^2]. Per la lunghezza della mediana relativa al lato maggiore si ha m = 1/2 sqrt [2(BC^2 + AB^2) - AC^2]. Dove per "sqrt" si intende la "radice quadrata". Il teorema della mediana o di Apollonio è un caso particolare del teorema di Carnot al quale si può ricondurlo con alcune considerazioni geometriche elementari.

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Mediana dell'ipotenusa

La mediana relativa all'ipotenusa è più semplice da costruire poiché un triangolo è sempre inscrivibile all'interno di una circonferenza, ma nel caso di quello rettangolo il diametro è pari proprio all'ipotenusa. Quindi la mediana dell'ipotenusa è esattamente un raggio della circonferenza Sotto queste ipotesi, il segmento che rappresenta la mediana relativa all'ipotenusa avrà una lunghezza pari proprio alla metà dell'ipotenusa. Il calcolo con le aree d'altro canto diventa un po' più difficoltoso perché non ci sono angoli retti a cui appigliarsi. Da notare il fatto che essendo l'ipotenusa pari al doppio della mediana, di fato il triangolo rettangolo viene suddiviso in due triangoli isosceli i cui lati diseguali sono i cateti. Volendo approfondire alcune proprietà sulla mediana, si può per esempio applicare la Formula di Erone per calcolare l'area dei triangoli ottenuti tramite la mediana dell'ipotenusa, perché mancando un angolo retto potrebbe essere tedioso il calcolo delle altezze necessarie per la determinazione della superficie.

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