Come calcolare la media e la deviazione standard

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Se conoscete alcune nozioni di Statistica, cominciamo con lo spiegare che cos'è la Media e la Deviazione Standard. La media rappresenta la media aritmetica delle misure del campione a cui siamo interessati. La deviazione standard, o scarto quadratico medio, è un indice di dispersione delle misure sperimentali. È uno dei modi per rappresentare la dispersione dei dati attorno al valore atteso. Attraverso i passi di questa guida scoprirete come calcolare la media e la deviazione standard, non vi rimane che seguirla attentamente.

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La prima cosa da fare, naturalmente è procurarsi dei dati sui quali lavorare. Questi dati vengono definiti "campione". Per misurare la media di questi dati, dovete sommare tutti i numeri da analizzare e dividerli per una costante che abbiamo scelto. Ad esempio scegliamo dei numeri e li dividiamo per la dimensione della popolazione: Media (μ) = ΣX/N, dove Σ è il simbolo di somma (addizione), x indica ogni singolo numero e N è la dimensione della popolazione.  

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La deviazione standard, altro non è che la distribuzione dei nostri dati. Ad esempio, seguendo l'esempio della popolazione, la deviazione standard ne rappresenterebbe la dispersione.
La formula per calcolarla è: σ = sq rt [(Σ((X-μ)^2))/(N)].
Supponiamo di misurare una certa grandezza che chiameremo x. Consideriamo inoltre che tutte le sorgenti di incertezza siano casuali, dovremo poterle rivelare ripetendo la misura svariate volte. Potremmo, per esempio fare la misurazione cinque volte, e trovare i seguenti risultati:

51; 52;52; 53; 51.

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Naturalmente la migliore stima sia la media x dei cinque valori. Cioè:

xbest = xmedio

= 51 52 52 53 51/5

= 51,8

Generalizzando presumiamo di fare N misure della grandezza x e di trovare N valori x1; x2; %u2026.. Xn;
Nuovamente la migliore stima per x è la media di x1; x2;%u2026 .. Xn.
Vale a dire:

xbest = xmedio

dove:

xmedio = x1 x2...%u2026 xn/N

= %u2211xi/N.

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La deviazione standard delle misura x1; x2; %u2026.. Xn, è una stima della incertezza media delle misure x1; x2; %u2026.. Xn, e si ottiene in questo modo:
Dato che xmedio è la migliore stima della grandezza x, è naturale considerare la differenza xi xmedio = di. Questa differenza spesso chiamata "scarto", vi dice quanto la misura "iesima" x differisce da xmedio. Se gli scarti "di" sono abbastanza piccoli, allora le nostre misure sono tutte prossime tra loro e saranno ragionevolmente molto precise.

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Per farvi capire meglio il significato dello scarto, calcoliamo gli scarti per le cinque misure riportate nel punto 2: noterete che gli scarti non sono tutti della stessa grandezza; "di" è piccolo se la misura iesima è vicina a x medio, ma di è grande se "xi" è lontano da x medio. La media degli scarti è zero. Di fatto, questo sarà vero per qualsiasi insieme di misure x1 %u2026. Xn dal momento che la definizione di x medio assicura che di=xi - x medio è talvolta positivo e talvolta negativo, in modo tale che d=0. Potrete dunque, facilmente intuire che la media degli scarti non è un modo utile di caratterizzare l'attendibilità delle misure x1%u2026. Xn.

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Dovete elevare al quadrato tutti gli scarti che formeranno così un insieme di numeri positivi e, poi fare la media di questi numeri. Se poi estrarrete la radice quadrata del risultato, otterrete una grandezza con le stesse unità di x. Questo numero è chiamato deviazione standard ed è denotato da x:

x= 1/N %u2211(di)2 = %u221A1/N %u2211(xi-xmedio)2

Essa si rivela un utile modo di caratterizzare l'affidabilità delle misure.

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Per calcolare dunque la deviazione standard %u03C3x dovrete calcolare gli scarti di, elevarli al quadrato, mediare questi quadrati e infine estrarre la radice quadrata del risultato:

sommate dunque i numeri d2i e dividendo per 5, otterrete la grandezza %u03C32x:
%u03C32x=1/N%u2211d2i= 2,80/5= 0,56
Se estraete la radice quadrata, trovererete la deviazione standard:
%u03C3x%u22480,7
In questo modo avrete trovato che l'incertezza media delle cinque misure è circa 0,7.

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