Come calcolare la gittata massima di un corpo

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Difficoltà: media
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Introduzione

Il calcolo della gittata massima di un corpo (o “proiettile”) e, per converso, l’individuazione della migliore traiettoria e del corretto angolo di lancio al fine di ottenere il lancio più lungo possibile, sono problemi di natura teorica in cui ogni studente, nel corso della propria carriera scolastica, può prima o poi imbattersi nell’ambito dello studio della fisica. D’altro canto, si tratta di tematiche con un importante significato pratico sulle quali vale la pena di soffermarsi al fine di apprenderne, per lo meno, i rudimenti. Il testo che segue mira a fornire indicazioni, quanto più possibile semplici, su come calcolare la gittata massima di un corpo, approfondendo poi la tematica dell’individuazione del migliore angolo di lancio.

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Definizioni elementari

Si definisce "proiettile" un qualsiasi corpo atto ad essere lanciato da parte di un soggetto (macchina o animale) dotato di forza che possa imprimere al corpo medesimo una velocità iniziale (“V0”). Una volta lanciato, il proiettile è successivamente influenzato solamente dalla forza di gravità (indicata canonicamente con la minuscola “g”) che tende a riportarlo al suolo Il moto del proiettile è quindi è quindi "parabolico", cioè può essere espresso come la combinazione dei moti rettilineo uniforme (derivante dalla forza di lancio) e uniformemente accelerato (o, intuitivamente, de-celerato) derivante dalla forza di gravità. Per semplicità si considerano quindi come ininfluenti (e le si trascura) le eventuali forza di attrito presenti (una fra tutte, quella opposta dall’aria).
Si definisce "gittata” del proiettile (e la si indica solitamente con la maiuscola "R") la distanza orizzontale massima percorribile dal corpo prima di atterrare o, in altre parole, la distanza massima che può esistere tra il punto di lancio del proiettile e il punto in cui il esso tocca nuovamente il suolo.

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Formula della gittata

In generale, la gittata di un qualsiasi corpo cui una forza imprime una velocità inziale “V0” e che, descrivendo una traiettoria parabolica caratterizzata da un angolo “x” rispetto al suolo, atterra sullo stesso piano da cui è partito, può essere descritta dalla formula seguente: R = (V0*V0/g) * sin(2x).
Analizzando tale equazione, si possono evidenziare alcuni elementi caratterizzanti. In primo luogo la gittata (cioè la lunghezza del lancio) non dipende dalla massa del corpo (e per questa ragione lo supponiamo puntiforme) ma è direttamente proporzionale al quadrato della velocità iniziale impressa al corpo (V0*V0) e dipende dall’angolo tra la traiettoria di lancio e il suolo. L’accelerazione di gravità (il cui valore sulla Terra è pari a 9,8 m/s^2), come è intuitivo, ha l’effetto di smorzare progressivamente, fino ad azzerarlo, l’impeto del corpo, tant’ vero che “g” si trova, nella formula, al denominatore. Prima di proseguire oltre, notiamo che da ciò deriva che il medesimo lancio, effettuato ipoteticamente sulla Luna, sarebbe molto più “produttivo” (i.e., avrebbe una gittata maggiore) che sulla Terra.

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Gittata massima e angolo di lancio

Dalla formula ora espressa appare evidente come, a parità di condizioni ambientali (i.e., la Terra) e di forza (cioè di velocità iniziale) impressa al corpo, la discriminante per ottenere una gittata più o meno lunga risiede nella traiettoria del corpo, ovvero nell’angolo tra la traiettoria stessa e il suolo. Per massimizzare il risultato della formula (e, insieme, dello sforzo del lanciatore), è necessario individuare quale sia l’angolo di lancio più propizio. Per far ciò sono sufficienti alcune nozioni basilari di trigonometria che consentano di definire per quali valori di “x”, la funzione sin(2x) assume il valore massimo. Il valore della funzione “seno” oscilla tra un massimo di 1, per un angolo di 90 gradi, e un minimo di -1 (in corrispondenza di un angolo di 270 gradi). Per ottenere il valore che massimizza la nostra formula è sufficiente quindi porre la condizione sin(2x) = sin(90) da cui 2x = 90 e x = 45. Ne deriva che la gittata massima si ottiene quando la forza imprime al proiettile una traiettoria di 45 gradi rispetto al suolo; in tali condizioni la formula diventa R = (V0*V0/g) * 1 = R = (V0*V0/g) da cui si ricava che il lanciatore (umano, animale o meccanico che sia) orienta la traiettoria a 45 gradi rispetto al suolo, otterrà il massimo risultato dallo sforzo profuso e la lunghezza del lancio sarà pari al rapporto tra il quadrato della velocità impressa e la forza di gravità terrestre.

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