Come calcolare la divergenza di una funzione

Tramite: O2O 04/05/2016
Difficoltà: media
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Introduzione

La matematica universitaria è un bel po' diversa da quella delle superiori, vero?
Sì e no diciamo, molti concetti, anche se all'inizio non sembra, sono semplici ampliamenti di argomenti già visti alle superiori, triti e ritriti. Il segreto per imparare a maneggiare alla perfezione questi nuovi strumenti, sta solo nell'accorgersene (e il prima possibile). Con questa guida vi spiegheremo come calcolare la divergenza, un concetto che emerge nello studio delle funzioni in più variabili, in generale dei campi vettoriali.

Dato che ogni corso base universitario di matematica tratta almeno in parte questa nozione, è bene imparare subito di cosa si tratta, dato che, come vedremo, non è poi nemmeno tanto difficile.

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Le uniche cose da sapere per calcolare la divergenza di una funzione sono: cos'è una funzione in più variabili e come se ne calcolano le derivate parziali.
Ripassiamo allora in breve questi due concetti. Se siete già degli esperti potete andare al passo successivo, ma un ripassino veloce ed efficace non fa mai male.
Una funzione in "n variabili" non è altro che una funzione da R^n in R, in poche parole: presi n valori differenti, la funzione ci restituisce un solo valore. Pensiamo ad esempio al caso n=2, allora R^2 non è altro che il piano dei numeri reali. Una funzione di due variabili è, ad esempio: F (x, y) = x^2 + y^2 + 2x*y^2. Se voglio calcolarla nel punto (1,3), allora avrò F (1,3) = 1^2 + 3^2 + 2*1*(3^2) = 1+9+18 = 28. Tutto qua!

Vediamo ora come si calcolano le derivate parziali. Vi ricordate le derivate normali, quelle di una funzione solo? Bene, non c'è quasi nessuna differenza! La derivata parziale rispetto a x, non è altro che la derivata, fatta pensando le altre variabili (y, z,...) come delle costanti, ovvero, non le dovete proprio toccare. Calcoliamo ad esempio la derivata parziale rispetto a x della funzione F sopra, la indicheremo come dF/dx. Eseguiamo separatamente le derivate su ogni termine (perché la derivata della somma è la somma delle derivate!), allora: la derivata di x^2 è 2x; di y^2 è 0 (perché la variabile x non compare); di 2x*y^2 è 2y^2 (perché la derivata di 2x è 2, e y non si tocca, è come una costante).
Quindi dF/dx = 2x + 2y^2. Se adesso volessimo calcolare la derivata parziale di F rispetto a x nel punto (1,3), basterà fare dF/dx (1,3) = 2*1 + 2*3^2 = 2+18 = 20
Ecco qua, ora che abbiamo tutti gli strumenti possiamo procedere con la divergenza.

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Vediamo allora come calcolare la divergenza, prima in generale e poi con un esempio. Vi basterà poi fare pochi esercizi: la ricetta è facile e sempre uguale.

Abbiamo una funzione F in n variabili, che chiamiamo x1, x2, ..., xn. Nel passo precedente abbiamo rivisto come si calcolano le derivate parziali.
Ora, la divergenza, calcolata in un punto, non è altro che la somma delle derivate parziali (rispetto a tutte le derivate) calcolate in quel punto.
Scrivendolo con una formula: div (F) = dF/dx1 + dF/dx2 + ... + dF/dxn.
E se dobbiamo calcolarla in un punto: divF(x. Y) = dF/dx1(x. Y) + dF/dx2(x. Y) + ... + dF/dxn (x. Y).

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Facciamo un esempio finale. È data la funzione F (x, y, z) = 3x^2 + log (z) -y*z^3.
Prima di tutto calcoliamo le derivate parziali: dF/dx = 6x; dF/dy = -z^3; dF/dz = 1/z - 3y*z^2; ricordandoci le regole del passo 1, e che la derivata del logaritmo è 1/z.
Se vogliamo adesso calcolare la divergenza nel punto (3,1,2) sarà:
divF (3,1,2) = dF/dx (3,1,2) + dF/dy (3,1,2) + dF/dz (3,1,2) = (6*1) + (-2^3) + (1/2 -3*1*2^2) = 6 - 8 + 1/2 -12 = -14 + 1/2 = -27/2.
Ecco qua, finito in due righe.
Per i più interessati, la divergenza ci dice, a seconda che sia positiva o negativa, se la funzione tende ad "uscire" o a "entrare" in quel punto, vista in altro modo, se quel punto è una sorta di sorgente o pozzo per le linee del campo (vedi figura).

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