Come calcolare la divergenza di una funzione

La matematica è un po' diversa man mano che si avanza con gli studi, anche se molti concetti sono semplici ampliamenti di argomenti già appresi alle scuole superiori. Premesso ciò, il segreto per imparare ad usare alla perfezione questi nuovi strumenti consiste nel capire l'argomento, come nel caso in cui si intende calcolare la divergenza di una funzione. A tale proposito in questa guida, vi spiegheremo come procedere non prima di aver descritto dettagliatamente i campi vettoriali.

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La prima cosa da fare per raggiungere l'obiettivo prefissato consiste nel capire cos'è una funzione in più variabili e come se ne calcolano le derivate parziali. Per tale motivo vale la pena ripassare brevemente questi due concetti. In primis va detto che una funzione in "n variabili" non è altro che un derivato da R^n in R. In poche parole presi n valori differenti, la funzione ce ne restituisce uno soltanto. Per fare un esempio nel caso in cui n=2, allora R^2 non è altro che il piano dei numeri reali. In secondo luogo una funzione di due variabili è invece ad esempio: F (x, y) = x^2 + y^2 + 2x*y^2. Se quindi intendete calcolarla nel punto (1,3), allora avrete F (1,3) = 1^2 + 3^2 + 2*1*(3^2) = 1+9+18 = 28.

A questo punto una volta spiegato il concetto delle funzioni con più variabili vale la pena analizzare anche quello che riguarda la derivata parziale. Quest'ultima rispetto a x, non è altro che la derivata passante tra le altre variabili (y, z,...) come delle costanti. Premesso ciò, per calcolare la derivata parziale rispetto a x della funzione F la indicheremo come dF/dx. A questo punto eseguiamo separatamente le derivate su ogni termine (perché la derivata è la somma delle altre derivate) in modo che la formula risulti la seguente: la derivata di x^2 è 2x; di y^2 è 0 (perché la variabile x non compare); di 2x*y^2 è 2y^2 (perché la derivata di 2x è 2, e y è come una costante).

A questo punto per completare la ripassata generale a cui abbiamo fatto accenno nell'introduzione della presente guida, vediamo come determinare la divergenza prima in generale e poi con due esempi. Per iniziare con il primo e supponendo di avere una funzione F in n variabili che chiamiamo x1, x2, ..., xn la divergenza va calcolata in un punto e non è altro che la somma delle derivate parziali conteggiate proprio in quel punto stesso. Volendo adesso enunciare la formula avremo: div (F) = dF/dx1 + dF/dx2 + ... + dF/dxn. Il secondo esempio è dato invece dalla funzione F (x, y, z) = 3x^2 + log (z) -y*z^3. Prima di tutto calcoliamo le derivate parziali: dF/dx = 6x; dF/dy = -z^3; dF/dz = 1/z - 3y*z^2; ricordandoci le regole del passo 1 il cui logaritmo è 1/z.Se vogliamo adesso calcolare la divergenza nel punto (3,1,2) sarà:
divF (3,1,2) = dF/dx (3,1,2) + dF/dy (3,1,2) + dF/dz (3,1,2) = (6*1) + (-2^3) + (1/2 -3*1*2^2) = 6 - 8 + 1/2 -12 = -14 + 1/2 = -27/2.

A margine di questa guida è importante sottolineare che la divergenza permette anche di trasformare un vettore in uno scalare. Nello specifico in un determinato vettore nel quale la divergenza è nulla (campo solenoidale) un esempio in merito è quello del campo magnetico B, in cui la divergenza è anch'essa nulla come si evince dall'applicazione delle equazioni di Maxwell. Per ulteriori approfondimenti sull'argomento trattato nella presente guida, il consiglio è di leggere quanto descritto nel link ad essa annesso.

• La divergenza e l'equazione di Maxwell

• Come derivare una funzione fratta