Come calcolare la distribuzione esponenziale

Tramite: O2O
Difficoltà: difficile
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Introduzione

La comprensione degli argomenti di matematica risulta piuttosto legata alla conoscenza delle nozioni basilari di fisica e viceversa. Basta pensare che numerosi grandi matematici risultano i maggiori esponenti fisici (come Johann Friedrich Carl Gauss, Isaac Newton o Leonhard Eulero). Di conseguenza è possibile affermare che la matematica e la fisica rappresentano due materie attinenti ed una non potrà fare a meno dell'altra. In linea generale, una distribuzione matematica ha l'obiettivo di calcolare il valore della probabilità di una variabile aleatoria. Quest'ultimo termine costituisce una funzione che potrebbe assumere valori differenti, in base a determinati fenomeni imprevedibili. Precisamente la variabile aleatoria consente di stabilire i risultati di una determinata sperimentazione, prima che essa giunga alla conclusione. All'interno dei passaggi successivi di questo tutorial vediamo come calcolare la distribuzione esponenziale collegata ad uno specifico fenomeno aleatorio. Non si ha idea di cosa venga trattato qui di seguito? Basterà continuare nella lettura diligente, in quanto il principio illustrato risulta complesso. Innanzitutto va ricordato che la distribuzione esponenziale viene impiegata quando occorre raffigurare la durata temporale di un fenomeno e marca il periodo vitale di un evento che non si degrada.

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Occorrente

  • Libro di matematica e di teoria delle probabilità
  • Interesse per la matematica
  • Conoscenze basilari di matematica e fisica
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Desumere la mancanza di memoria

Prendere ad esempio la variabile aleatoria Y avente un valore della distribuzione esponenziale uguale ad γ. La funzione di ripartizione che viene originata in questo caso è F (γ) = P (Y ≤ γ) = 1 - e^γx. Dalla presente formula è possibile desumere la mancanza di memoria P (Y > γ) = e^-γx. Da ciò si ha P (Y > a + b │Y > a) = P (Y > a + b) / P (Y > a) = P (Y > b). Giunti a questo punto si ha l'opportunità di verificare l'esito della distribuzione esponenziale. A tale scopo è necessario effettuare l'operazione inversa, che verrà tratta nel passaggio successivo.

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Verificare l'esito

Dall'esempio riportato è possibile notare che la distribuzione esponenziale non ha memoria e si fonda su numeri reali positivi. Per qualunque variazione dei termini a e b viene rispettata la relazione P (Y > a + b) / P (Y > a) = P (Y > b). In funzione del cosiddetto principio di continuità, si avrà l'uguaglianza P (Y > y) = P (Y > 1)^x. Adesso è necessario estrapolare il valore della distribuzione esponenziale, ovvero γ = - log P (Y > 1). In questo modo si ottiene la funzione di distribuzione esponenziale F (y) = 1 - P (Y > y) = 1 - e^γx. Affinché la probabilità sui numeri reali positivi corrisponda ad 1, γ deve necessariamente rifarsi ad un numero positivo.

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Conoscere la teoria delle probabilità

Applicato alla radioattività, il principio della distribuzione esponenziale permette di calcolare la durata di un isotopo radioattivo. Quest'ultimo rappresenta un atomo instabile per via di numerosi fattori, come le manipolazioni umane o i fenomeni idrici. Per affrontare bene un argomento così elaborato, bisogna conoscere approfonditamente la teoria delle probabilità. L'ulteriore elemento considerato indispensabile riguarda l'acquisizione dei termini tecnici e delle operazioni più basilari. Supporre una distribuzione esponenziale α(γ) il cui parametro γ risulta superiore a 0 ed avente una funzione di densità di probabilità fondata su numeri reali positivi. Quest'ultima diviene possibile esclusivamente qualora la variabile aleatoria fosse continua. Poiché si basa su numeri reali positivi, la distribuzione esponenziale α(γ) coinciderà con la funzione f (x) = γe^-γx.

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