Come calcolare la distribuzione di Maxwell nei gas perfetti

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Il gas è uno stato della materia che si trova allo stato aeriforme ed a seconda dei casi vi sono delle velocità di movimento che esse possiedono. In base alla velocità ai può calcolare la quantità di molecole presenti in un determinato oggetto contenente del gas: se si tratta di un gas perfetto, cioè un gas che contiene le stesse molecole e che si muovono in un modo caotico, del tutto disordinato. Questo risultato tipo di gas è possibile calcolare la distribuzione mediante la formula di Maxwell: mediante questa formula è possibile risolvere numerosi problemi di fisica, in un modo facile e veloce. Vediamo quindi attraverso questa guida come calcolare la distribuzione di Maxwell nei gas perfetti.

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Iniziare prendendo in considerazione un gas perfetto alla temperatura T, composto da N molecole di massa m, si trova che il numero %u2206N di molecole con una velocità di modulo compreso tra v e v %u2206v, è dato dalla formula: %u2206N = 4N/ %u221A%u03C0. (m/2KbT)^3/2 v^2 e^-mv^2/2KbT. %u2206v -> Da questa formula si ricava la funzione: %u2206N/ %u2206v = 4N/ %u221A%u03C0. (m/2KbT)^3/2 v^2 e^-mv^2/2KbT, detta DISTRIBUZIONE MAXWELLIANA DELLE VELOCITA' O CURVA DI MAXWELL.

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La curva di Maxwell parte dall'origine degli assi, inizialmente è crescente, fino adun valore massimo e poi decrescente. Il numero di molecole del gas, che hanno un modulo della velocità compreso tra v1 e v2 è uguale alla parte compresa tra il grafico della distribuzione delle velocità, l'asse delle ascisse. Inoltre, l'area totale compresa tra la curva di Maxwell e l'asse delle ascisse è pari a N, il numero di molecole di cui il gas è composto. Questa proprietà dà la possibilità di comprendere la variazione di forma della curva maxwelliana al variare la temperatura.

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Per comprendere al meglio il calcolo di distribuzione viene eseguito un esempio che dimostra che la curva di Maxwell raggiunge il suo massimo valore per v = %u221A2KbT/m. Calcolare il valore dell'ordinata di questo punto di massimo. Allora, per trovare l'ordinata del punto P in cui la curva di Maxwell ha il massimo occorre sostituire nella formula %u2206N/ %u2206v = 4N/%u221A%u03C0. (m/2KbT)^3/2 v^2 e^-mv^2/2KbT, il corrispondente valore v = %u221A2KbT/m della variabile indipendente. Si deve calcolare il valore di y dato dalla formula %u2206N/ %u2206v = 4N/%u221A%u03C0. (m/2KbT)^3/2 v^2 e^-mv^2/2KbT, cioè y = %u2206N/ %u2206v = 4N/%u221A%u03C0. (m/2KbT)^3/2 v^2 e^-mv^2/2KbT, nella quale è sostituito il valore v^2= 2KbT/m, in questo modo si ottiene: yp = 4N/%u221A%u03C0. (m/2KbT)^3/2. 2KbT/m e^-m/2KbT.2KbT/m = 4N/ %u221A%u03C0. (m/2KbT)^1/2 e^-1= 4N/e. (m/2%u03C0KbT)^1/2.

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Dal risultato ottenuto si può vedere esplicitamente che l'ordinata del massimo della curva di Maxwell, è inversamente proporzionale a %u221AT. Quindi è confermato che, come già detto in precedenza, all'aumentare di T il picco della curva di Maxwell si abbassa.

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