Come calcolare la distanza tra due punti su una curva

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Difficoltà: media
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Introduzione

Siamo ormai agli sgoccioli, tra poco meno di due mesi le scuole giungeranno al termine e con loro arriveranno anche i così tanto attesi e temuti esiti di fine anno. Tanti bambini e ragazzi a Settembre passeranno alla classe successiva ma per alcuni la via per la nuova classe è ancora travagliata. Un incubo per tanti ragazzi è appunto la matematica, ed ecco che con questa guida vedremo come calcolare la distanza tra due punti su una curva.

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La matematica è una delle materie più temute dalla stra grande maggioranza dei ragazzi. Il motivo principale della paura di questa materia è dato dal fatto che la maggior parte degli studenti non riesce a comprenderla a fondo, da qui il panico per tutte le interrogazioni o i compiti in classe. Prima di andare a vedere nel dettaglio quanto spiegato nel paragrafo introduttivo è necessario che vi dia un piccolo suggerimento che può tornarvi utile ogni qualvolta siete alle prese con la matematica. Questa materia si fonda su principi logici e dimostrabili; quando avete a che fare con un nuovo argomento e vi trovate in difficoltà provare a chiedere al vostro insegnante di spiegarvelo in un'altra maniera. Tante volte per capire un argomento è semplicemente necessario provare a vederlo da una prospettiva differente.

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Una curva in matematica è un oggetto unidimensionale e continuo, che si può immaginare intuitivamente come la traiettoria percorsa da un punto in movimento in un qualche spazio: una curva può infatti giacere non solo su un piano, ma anche nello spazio euclideo, o in uno spazio topologico più generale. A scuola può capitare facilmente che ci venga richiesto di calcolare la distanza tra due punti su una curva: vedremo proprio come fare questo, considerando, per semplicità e perché è di solito questa tipologia che si tratta a scuola, dei punti collocati nel piano cartesiano. La spiegazione non ha nulla di difficile, ed una volta memorizzata la formula generale sarà una passeggiata risolvere qualsiasi problema ci verrà posto davanti!
Consideriamo due punti su un piano, e chiamiamoli A e B. A ha coordinate x1, y1; B ha coordinate x2, y2. Supponiamo di voler calcolare la loro distanza. Per prima cosa, partendo da ciascun punto tracciamo le rette parallele agli assi, sia quello orizzontale che verticale, e nel reticolo di linee che si viene formando consideriamo il triangolo ABH rettangolo in H.

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Di tale triangolo possiamo conoscere tutti e tre i lati: AH è infatti la differenza tra la coordinata x di H (che è poi la medesima coordinata x di B) e la coordinata x di A, cioè: AH = x2 - x1. Esattamente allo stesso modo, BH ci risulta dalla differenza tra la coordinata y di B e la coordinata y di H (che è la stessa di A), ossia: BH = y2 - y1.
Per trovare AB dobbiamo invece ricorrere al teorema di Pitagora. Secondo la formula, per ABH, rettangolo, abbiamo che: AB^2 = AH^2 + BH^2, da cui deriva che AB = √ (AH^2 + BH^2). Se sostituiamo AH e BH con le loro formule che abbiamo calcolato prima, otteniamo che AB = √ [ (x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 ]. Ed abbiamo così individuato la formula generale che ci permetterà di determinare la distanza tra qualsiasi due punti collocati in un piano, posti che siano noti x1, x2, y1 e y2. Proviamo ad applicare quello che abbiamo appena trattato in teoria: consideriamo due punti A e B; A di coordinate -3;4 e O di coordinate 0;0 (O è quindi l'origine degli assi cartesiani). Riscriviamo la nostra formula generale: AO = √ [ (x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 ]. Tenendo presente che le coordinate di A sono x1 e y1, cioè x1 = -3 e y1 = 4; e allo stesso modo x2 = 0 e y2 = 0, sostituiamo questi valori che abbiamo a disposizione nella formula generica, ottenendo così: AO = √ [ (0 + 3)^2 + (0 - 4)^2 ]. Svolgiamola: AO = √ [ 3^2 + (-4)^2 ] --> AO = √ 9 + 16 = √ 25 = 5. La lunghezza del segmento AO è pertanto di 5 unità: questa è la risposta corretta, a meno che non vengano indicate precisamente altre unità di misura. Altrimenti, diremo, a seconda del caso, che AO misura 5 cm, o 5 km e così via.

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