Come Calcolare La Dimensione Frattale col Box Counting

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Il termine frattale fu introdotto per la prima volta dal noto matematico polacco Mandelbrot, per dimostrare che un oggetto ha la caratteristica di aver una forma irregolare. La dimensione frattale è una misura delle irregolarità di una figura, quando essa viene osservata da scala molto piccola; tale dimensione contiene parecchie informazioni riguardanti le proprietà geometriche dell'oggetto in questione. Questo concetto non è assolutamente vero, in quanto una linea disegnata in uno spazio tridimensionale resta comunque un oggetto ad una dimensione. Ecco come come calcolare la dimensione frattale col Box Counting.

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Occorrente

  • foglio, matita o penna, carta da forno, squadrette
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Quella del Box Counting è una tecnica che consiste nel sovrapporre all'immagine da studiare una griglia quadratica e nel contare il numero di maglie occupate dall'oggetto, variando la dimensione d delle maglie. Tale numero, ovviamente, risulterà diverso a seconda del valore di d scelto. Nella figura iniziale possiamo notare una rappresentazione di questa tecnica applicata alla curva di Koch. Nel nostro caso pratico calcoleremo, a titolo di esempio, la dimensione frattale di una galassia, riportata nella figura in basso.

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Fotocopiate la vostra immagine (nel nostro caso, appunto, la galassia) in bianco e nero, in modo da avere punti bianchi su punti neri e in modo da eliminare ogni traccia di altri colori. Prendete la carta da forno (leggermente trasparente) e disegnatevi sopra una griglia costituita da una moltitudine di quadratini. Per essere più precisi potete aiutarvi con le squadrette. Scegliete ad esempio d (lato dei quadratini) uguale a 2 mm. Sovrapponete la griglia alla vostra figura e contate il numero di quadratini (boxes) occupati dalla figura stessa, cioè il numero di quadratini che siano, totalmente o in parte, di colore nero.

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Ora disegnate un'altra griglia con d pari, ad esempio, a 3 mm e sovrapponetela nuovamente alla vostra figura. Contate ancora una volta il numero di quadratini totalmente o in parte neri. Ripetete la stessa operazione con altre griglie con d uguale a 4 mm e a 5 mm. Infine riportate tutti i dati in una tabella: a sinistra la dimensione di d e a destra il numero di boxes che avete contato. Nell'esempio che segue abbiamo utilizzato i pixel al posto dei mm in quanto la dimensione frattale è stata calcolata con un software al computer. Riportate su un grafico cartesiano il logaritmo del numero di boxes sull'asse y e il logaritmo dell'inverso delle dimensioni dei boxes sull'asse x. Interpolando i punti ottenuti si ottiene una retta, il cui coefficiente angolare fornisce la dimensione frattale della figura in esame.

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